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Stochastic analysis of empirical comparisons of counting processes. (Stochastische Analyse von empirischen Zählvergleichen.) (German)
Didaktikh., Schriftenr. Didakt. Math. Höheren Sch. 43, 12 p. (2010).
Zusammenfassung: Den Ausgangspunkt für Entscheidungen und Aussagen bilden häufig Zählungen. Die prinzipielle Vorgangsweise beim Vergleich von Zählungen aus methodischer Sicht soll hier vorgestellt werden. Es existieren statistische Verfahren, die auch bei kleiner Stichprobenzahl durchführbar sind. Dass statistische Testverfahren nur bei hoher Probenzahl aussagekräftige Aussagen liefern, gilt zwar für epidemiologische Untersuchungen bzw. für allgemein gültige Aussagen über die Grundgesamtheit. Für individuelle Vergleiche, die nur für die konkrete Fragestellung Erkenntnisse bringen sollen, gibt es statistische Tests, die unabhängig von der Größe der Stichprobe optimal sind und außerdem vergleichsweise einfach durchzuführen sind, wenn die Zählungen eher kleinere Werte ergeben. Für Messungen existieren in der Stochastik verschiedene geläufige Vergleichsverfahren (wie $t$-Tests, Anova-Tabellen u.v.m.), die auf Grund des zentralen Grenzverteilungssatzes auch auf umfangreiche diskrete Zählungen angewandt werden können. Ein auf großer Anzahl basierendes Verfahren stößt in der Praxis oft auf die Schwierigkeit, gleich bleibende Voraussetzungen (Unabhängigkeit oder unveränderte Verteilungsannahmen) garantieren zu können. Hauptsächlich dann, wenn nur eine geringe Anzahl von Beobachtungen vorliegt, sollten Vergleichsverfahren angewandt werden, die die tatsächliche Verteilung des Zählprozesses ins Kalkül ziehen. Die Basis für allgemeine Zählvorgange bildet der Poissonprozess. Vergleicht man zwei Poisson-verteilte Zählungen, ergibt nicht die absolute Differenz eine optimale Aussage über den Unterschied der beiden Werte. Ein Umweg über den Anteil an der Summe beider Zahlen führt zu einer besseren Abgrenzung durch absolute Häufigkeiten. Diese Prozedur ist optimal im Sinne der Trennschärfe von statistischen Testprozeduren. Der Vergleich zweier einfacher Zählungen wird dann auf eine Methode zum Vergleich von Vektoren von Häufigkeiten erweitert. Das Verfahren ist im Aufbau ähnlich dem exakten Test nach Fisher für alternativ verteilte Merkmale, der zunächst vorgestellt wird.
Classification: K70 K60
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