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Complex numbers and plane geometry. (Komplexe Zahlen und ebene Geometrie.) 3rd expanded and revised edition. (German)
De Gruyter Studium. Berlin: De Gruyter (ISBN 978-3-11-040686-3/pbk; 978-3-11-040687-0/ebook). xi, 214~p. (2016).
Das Buch gibt einen Überblick über den Aufbau und verschiedene Darstellungen der komplexen Zahlen, Elemente der Zahlentheorie im Komplexen, Lösungen algebraischer Gleichungen, komplexe Funktionen sowie insbesondere eine Vielzahl von geometrischen Anwendungen komplexer Zahlen und konformer Abbildungen. Es verbindet arithmetische und algebraische Aspekte mit geometrischen Interpretationen und Veranschaulichungen sowie Anwendungen in der Physik (Kinematik, Schwingungen, Strömungslehre) und in der Kunst bzw. Computergrafik (Fraktale, hyperbolische Ornamente). Es zeigt somit die Vielschichtigkeit und Attraktivität des behandelten mathematischen Themengebietes auf. Kapitel 1 führt in die komplexen Zahlen ein, gibt einen Einblick in verschiedene Darstellungsweisen komplexer Zahlen und einige Anwendungen, unter anderem Fraktale (Mandelbrot- und Juliamengen). Kapitel 2 beschäftigt sich kurz mit Primzahlen im Komplexen (Division mit Rest, Primfaktorzerlegung, ggT). Die Kapitel 3 und 4 behandeln algebraische Gleichungen im Komplexen und schließen mit dem Fundamentalsatz der Algebra und zwei Beweisen dieses Satzes ab. Das (kurze) Kapitel 5 befasst sich mit der Riemannschen Zahlenkugel und Eigenschaften stereografischer Projektionen. Gegenstand von Kapitel 6 sind komplexe Funktionen und ihre Ableitung. Dabei wird der Begriff der konformen Abbildung eingeführt. In Kapitel 7 werden Möbiustransformationen (gebrochen lineare Funktionen) näher betrachtet. Insbesondere wird auf den Spezialfall der Inversionen eingegangen. Kapitel 8 behandelt die Jukowski-Funktion und ihre Anwendung in der Strömungslehre. Neu hinzugefügt wurde in der dritten Auflage ein Kapitel zur Nichteuklidischen Geometrie, in dem die Poincare-Halbebene und die Poincare-Kreisscheibe mithilfe komplexer Zahlen behandelt und mithilfe von Möbiustransformationen aufeinander abgebildet. Das Buch ist durchgehend sehr gut verständlich geschrieben und u.a. für mathematisch interessierte Schüler der gymnasialen Oberstufe, Studierende sowie Lehrer empfehlenswert. Es enthält Übungsaufgaben (mit Lösungen) zur Selbstkontrolle des Verständnisses der Buchinhalte. Weiterhin wird eine Einführung in das Computeralgebrasystem Maple und seine Nutzung für die Arbeit mit komplexen Zahlen und Funktionen sowie die Generierung von Fraktalen gegeben. Ergänzt wurde in der dritten Auflage ein Kapitel zu komplexen Zahlen und dynamischer Geometrie, speziell zur Nutzung der Software Cinderella für Inhalte des Buches. Entsprechende Beispieldateien (für Maple und Cinderella) stehen auf der Internetseite des Autors zur Verfügung.
Reviewer: Andreas Filler (Berlin)
Classification: F50 G40
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