History

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History and didactics: the case of the text by L’Hôpital {\it Analyse des infiment petit deslignes courbes}. (Historia y didáctica: el caso del escrito de L’Hôpital {\it Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes}.) (Spanish. English summary)
Epsilon (Puerto Real) 28, No. 77, 51-64 (2011).
Summary: Nowhere in L’Hôpital’s famous textbook is the chain rule (the rule for differentiating the composition of two functions) proved. It is neither proved or justified in any of Euler’s analysis books. In this article, the authors contend that this rule is obvious in the language of infinitesimals and differentials, common in L’Hôpital’s times. Such a circumstance makes the chain rule so clearly valid as to require no explicit proof. Furthermore, the rule was conceived as an algorithm for calculating derivatives of functions that are obtained from other differentiable functions by substitution of variables that are also differentiable. It is an anachronism to imagine that the chain rule as used in L’Hôpital’s and Euler’s writings has any relation with the composition of functions. In the history of mathematics, the composition of functions is defined at least two centuries after the publication of L’Hôpital’s work. Finally, arguments are presented to document the didactic advantage of teaching the chain rule as an algorithm to find the derivative (difference) of a function that is obtained from a differentiable function by substituting a differentiable variable.
Resumen: En ninguna parte del famoso texto de L’Hôpital se demuestra la regla de la cadena, es decir, la regla para la diferenciación de funciones compuestas. En los escritos de análisis de Euler tampoco se ofrece demostración alguna o justificación para tal regla. En este artículo se afirma la naturalidad de la mencionada regla en el lenguaje de los infinitésimos y los diferenciales, propios de la época. Tal circunstancia hace la regla tan evidentemente válida, al punto de no requerir demostración explícita. Además, la regla fue concebida como algoritmo para calcular las derivadas de funciones que resultan de otras funciones diferenciables luego de efectuar sustituciones de variables, también diferenciables. Es anacrónico imaginar que la regla de la cadena según empleada en los escritos de L’Hôpital y de Euler tiene alguna relación con la composición de funciones. En la historia de la matemática la noción de composición de funciones surge al menos dos siglos después de la publicación del escrito de L’Hôpital. Finalmente, se argumenta la ventaja didáctica de presentar la regla de la cadena como un algoritmo para hallar la derivada (diferencia) de una función que se obtiene a partir de otra función diferenciable efectuando una sustitución de variables, también diferenciable.
Classification: A30 I40