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Generalization of a theorem by Martin Aigner concerning the Motzkin numbers. (Généralisation d’un théorème de Martin Aigner sur les nombres de Motzkin.) (French)
Math. Péd., No. 165, 23-30 (2008).
Le polynôme de Motzkin $M_n(x)$ est défini par $M_n(x)=\sum^n_{k=0}M_{n,k}x^k$, et $M_{n,k}$ par la récurrence $$\cases M_{0,0}=1\\M_{n+1,k}=M_{n,k-1}+M_{n,k}+M_{n,k-1}.\endcases$$ L’auteur montre que, pour tous $x\in\Bbb C$ et $n\in\Bbb N$, $$\text{dét}\pmatrix M_0(x) & M_1(x) & M_2(x) & \dots & M_n(x)\ M_1(x) & M_2(x) & M_3(x) & \dots & M_{n+1}(x)\ M_2(x) & M_3(x) & M_4(x) & \dots & M_{n+2}(x)\ \vdots & \vdots & \vdots & &\vdots\ M_n(x) & M_{n+1}(x) & M_{n+2}(x) & \dots & M_{2n}(x)\endpmatrix =1.$$ Le cas particulier $x=0$ n’est autre que le théorème d’Aigner.
Reviewer: Rainer Wenz (Karlsruhe)
Classification: K20
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