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Mathematics and music: geometric progressions and the pattern of intervals on the chromatic scale. (Matemática e música: As progressões geometricas e o padrão de intervalos da escala cromática.) (Portuguese)
Bolema 16, No. 20, 101-126 (2003).
Esta pesquisa apresenta uma abordagem das progressoes geometricas atraves da musica, mais especificamente, atraves do entendimento da estrutura das escalas diatonicas e cromaticas. Procuramos mostrar, primeiro, que a musica ocidental possui doze tonalidades maiores e doze tonalidades menores, cujos padroes de intervalo derivam todos da escala cromatica e, segundo, que a padrao de intervalos de tal escala traz subjacente uma progressao geometrica de razao 2$^{1/12}$. Assim, tal razao e aplicada na construcao destas escalas bem como da escala do braco do violao, constituindo-se em exercicios que podem ser utilizados no ensino do conteudo matematico em questao, em uma forma contextualizada. Desta forma, diante das dificuldades que os alunos comumente sentem em aprender Matematica, buscamos, nesta pesquisa, primeiro, apresentar alguns elementos teoricos que possam subsidiar a construcao de abordagens educacionais que contribuam para superar o ensino tradicional, livresco e abstrato, na exploracao das progressoes geometricas e, em segundo, apresentamos um exemplo pratico de estrategia de ensino das Progressoes Geometricas, a partir da Musica e atraves da construcao de um conjunto de tubos sonoros. (orig.)
This study examines the theme of Geometric Progression through music; more specifically, through the understanding of the structure of diatonic and chromatic scales. We sought to demonstrate, firstly, that Western music has 12 higher tonalities and 12 lower tonalities whose interval patterns originate from the chromatic scale, and secondly, that the pattern of intervals of the scale has an underlying geometric progression with a ratio equal to 2$^{1/12}$. This ratio is then applied to the construction of these scales as well as to the scale as played on the guitar, resulting in exercises which can be used to teach this mathematical topic in a real life context. In this way, bearing in mind the difficulties commonly faced by students when learning mathematics, we sought, first, to show some theoretical elements that can inform the development of educational approaches which may overcome the traditional, book-oriented, abstract teaching when exploring Geometrical Progression; and, secondly, present an alternative strategy to teaching this topic by using music, including the construction of a set of sound pipes. (orig.)
Classification: I33 M83 D43
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