History


Help on query formulation
Methods of reasoning and their logical modelling. Specificity of calculus. Didactic implications. (Méthodes de raisonnement et leurs modélisations logiques. Spécificité de l’analyse. Quelles implications didactiques?) (French)
Rech. Didact. Math. 23, No. 3, 295-342 (2003).
Nous explorons le probleme de la rigueur dans le domaine de l’analyse suivant deux axes; comment l’etudiant peut-il se premunir contre les preuves non valides, en l’absence de toute explicitation des regles logiques relatives au raisonnement mathematique d’une part, et par quoi l’enseignant remplace-t-il la logique absente d’autre part? Pour cela nous etudions la pratique de la demonstration en analyse en debut des etudes universitaires. Cette pratique se fonde sur le raisonnement a partir de l’exemple generique lequel peut s’analyser a l’aide de la deduction naturelle dans le calcul des predicats. Dans le discours de l’enseignant, ce mode de raisonnement apparait sous forme de regles de manipulation des variables et nous montrons pourquoi ceci constitue une specificite de l’analyse par rapport a la geometrie et a l’algebre. L’etude des reactions des enseignants a une erreur d’etudiant montre la prevalence d’une de ces regles, explicable historiquement et controlable dans les manuels. Notre etude montre aussi que ces regles, tres contextualisees, sont fortement dependantes de la connaissance mathematique du domaine concerne, ce qui peut expliquer leur difficulte d’apprehension par les debutants. L’interet de la modelisation logique est de permettre de referer ces regles de manipulation de variables a un savoir coherent. Elle nous permet aussi de nous situer par rapport aux travaux anterieurs sur le raisonnement deductif. (Resume des auteurs)
We explore the question of rigour in the field of calculus along two dimensions: How can students avoid invalid proofs in the absence of explicit logical rules for mathematical reasoning, on the one hand, and what replaces the missing logical references, on the other? To that end, we study the practise of demonstration in calculus at the beginning of university studies. This practise is based on reasoning with a generic element, for which natural deduction in predicate calculus provides an analytic frame. In the teacher’s discourse, this mode of reasoning appears in the form of rules for manipulating variables, and we show why this is specific to calculus in contrast to geometry and algebra. Our study of teachers’ commentaries on a student’s error shows the prevalence of one such rule, historically explainable and existing in textbooks. The study also shows that these rules, highly contextualised, are strongly dependent on the mathematical knowledge of the field in question, which might explain why beginners have such difficulty understanding them. Modelling these rules for manipulating variables within a logical frame makes it possible to refer to coherent knowledge and to situate our inquiry with respect to previous work on deductive reasoning. (Authors’ abstract)
Classification: E55 I45 I55
Keywords: generic elements
Valid XHTML 1.0 Transitional Valid CSS!