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Models and theories of mathematical understanding: Comparing Pirie and Kieren’s model of the growth of mathematical understanding and APOS theory. (Modelos y teorías de la comprensión matemática: comparación de los modelos de Pirie y Kieren sobre la evolución de la comprensión matemática y la Teoría APOE.) (Spanish)
Relime 6, No. 3, 221-278 (2003).
La busqueda de una descripcion significativa de la comprension cognitiva ha durado ya medio siglo. Durante las ultimas tres decadas, se han desarrollado nuevas e integradoras perspectivas alejadas de la distincion de Richard Skemp entre la comprension instrumental y la relacional. Hasta 1987, Tom Schroeder documento la evolucion de estas perspectivas en su sintesis PME del trabajo sobre la comprension a partir de los contrastes relacionales e instrumentales de Richard Skemp. Desde 1987, el trabajo sobre la comprension ha progresado, y el presente documento examina los recientes marcos teoricos de la comprension que han surgido a partir de estas raices. Este documento se enfoca en dos marcos teoricos: el modelo de Pirie y Kieren sobre la evolucion de la comprension matematica y la teoria APOE de Dubinsky, haciendo referencia a otros marcos teoricos contemporaneos como es el trabajo de Cornu y Sierpinska sobre los obstaculos cognitivos y epistemologicos; las investigaciones sobre la definicion del concepto y la imagen del concepto de Vinner y Tall; las exploraciones de Kaput sobre las representaciones multiples y las definiciones de Sfard entre las concepciones operacionales y estructurales. Ademas, se explican las definiciones de la comprension propuestas por estos dos marcos, el analisis se dirige a sus elementos y construcciones, asi como a sus vinculos con las caracterizaciones historicas y recientes de la comprension. Este documento analiza porque los modelos de Pirie y Kieren, y la teoria APOE satisfacen el criterio de Schoenfeld sobre la clasificacion como una teoria y, por ultimo, concluye con el analisis de diversas interconexiones entre estas dos teorias, asi como los elementos que las distinguen de otras segun sus origenes, organizaciones, relaciones con otros marcos e implicaciones de las dos teorias tanto para evaluaciones como para practicas pedagogicas. (orig.)
The search for a meaningful cognitive description of understanding has ensued for the past half a century. Within the past three decades, new and integrative perspectives have grown out of Richard Skemp’s distinctions between instrumental and relational understanding. The growth of these perspectives, up until 1987, was documented by Tom Schroeder in his PME synthesis of the work on understanding resulting from Richard Skemp’s instrumental/relational contrasts. Since 1987, the work on understanding has progressed and this paper examines the new, more recent theoretical frameworks of understanding which have arisen from these roots. This paper focuses on two theoretical frameworks, Pirie and Kieren’s model of the growth of mathematical understanding and Dubinsky’s APOS theory, and discusses other contemporary theoretical frameworks such as the work by Cornu and Sierpinska on cognitive or epistemological obstacles, the investigations into concept definition and concept image by Vinner and Tall, Kaput’s explorations of multiple representations, and Sfard’s distinctions between operational and structural conceptions. Besides explicating the definitions of understanding proposed by these two frameworks, the discussion addresses their elements and constructs as well as their linkages to historical and recent characterizations of understanding. The paper then argues why Pirie and Kieren’s model and APOS theory satisfy the Schoenfeld criteria for classification as a theory and finally concludes with discussions of a variety of interconnections between these two theories as well as the elements which make them distinct from each other such as their origins, organizations, relationships to other frameworks, and implications of the two theories for both assessment and pedagogical practices. (orig.)
Classification: C30 D20
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