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Über den Büschel von ebenen Kurven dritter Ordnung mit neun reellen Grundpunkten. (German) JFM 44.0667.06

Der Verf. hat sich die Aufgabe gestellt, den allgemeinen Büschel von ebenen Kurven dritter Ordnung mit neun reellen Grundpunkten hinsichtlich der Art und der Realität seiner rationalen Kurven zu studieren. Es ergibt sich, daßnur sechs in diesem Sinne voneinander verschiedene Typen allgemeiner \(C_3\)- Büschel existieren, nämlich so viele, wie Kombinationen zu zweien mit Wiederholung der Wörter hyperbolisch, parabelisch, elliptisch. Der doppelt hyperbolische Büschel enthält die Maximalzahl 2 von Kurven mit isoliertem Doppelpunkt. Es gibt mithin (zweifach unendlich viele) Paare von Kurven dritter Ordnung, deren unpaare Züge dieselben neun (reellen) Punkte miteinander gemein haben, und deren Ovale einander ausschließen; aber es gibt kein Tripel solcher Kurven.
Es ist zu vermerken, daßes Paare von allgemeinen \(C_3\)- Büscheln mit neun reellen Grundpunkten und der gleichen Anzahl und Art der reellen rationalen Kurven geht, die durch stetige reelle Variation der Grundpunkte nicht anders ineinander übergeführt werden können, als daßim Verlaufe des Variationsprozesses mindestens einmal drei Grundpunkte des variierten Büschels auf einer Geraden liegen. Dabei können die Grundpunkte der Büschel ein und demselben Zuge ein und derselben (irreduziblen) Kurve (dritter Ordnung) angehören. In solchen Büscheln sind die Grundpunkte in verschiedener Weise auf die paaren Teile der schleifenförmigen Kurven verteilt. Betrachtet man den allgemeinen \(C_3\)-Büschel aus diesem Gesichtspunkte, so wächst die Anzahl der Typen beträchtlich.
Die Verteilung der Grundpunkte eines allgemeinen \(C_3\)- Büschels auf die paaren Teile seiner schleifenförmigen Kurven ist im letzten Paragraphen studiert. Hierbei ergibt sich unter anderem die merkwürdige Tatsache, daßjeder allgemeine \(C_3\)-Büschel mit neun reellen Basispunkten (mindestens) ein Kontinuum zweiteiliger Kurven enthält, deren paare Züge vier Grundpunkte tragen, was für keine andere Anzahl (0 eingeschlossen) gilt.
Nach dieser der Einleitung entnommenen Übersicht lassen wir die Überschriften der Teile folgen.
\(\S\) 1. Einige allgemeine Sätze über den Büschel von ebenen Kurven dritter Ordnung (\(C_3\)-Büschel). \(\S\) 2. Die stetigen reellen Variationen der Grundpunkte eines \(C_3\)- Büschels. I. Variationen. 1. Gattung 1. und 2. Art. II. Variationen. 2. Gattung 1. und 2. Art. III. Variationen 3. Gattung. \(\S\) 3. Eine besondere Art spezieller \(C_3\)-Büschel. \(\S\) 4. Die möglichen Typen der allgemeinen \(C_3\)-Büschel mit neun reellen Grundpunkten hinsichtlich der Realität und Art ihrer rationalen Kurven. \(\S\) 5. Die Verteilung der Grundpunkte eines allgemeinen \( C_3\)- Büschels mit neun reellen Grundpunkten auf die paaren Züge der in ihnen enthaltenen zweiteiligen Kurven. 1. Bestimmung der Maximalzahl 2 der Kontinuen zweiteiliger Kurven, deren paare Züge 2, 4 oder 6 Grundpunkte tragen. II. Die Nichtexistenz eines Büschels mit zwei Kontinuen zweiteiliger Kurven, auf deren Ovalen acht Grundpunkte liegen.
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References:

[1] Rohn: Die ebene Kurve 6. Ordnung mit 11 Ovalen, Sitzber. Ak. Leipzig 63 (1911), Heft 9. Ferner: Die Maximalzahl und Anordnung der Ovale bei der ebenen Kurve 6. Ordnung und bei der Fläche 4. Ordnung, Math. Ann. 72, S. 177ff.
[2] Hilbert: Über die reellen Züge algebraischer Kurven, Math. Ann. 38, S. 118, Anm. · JFM 23.0753.02
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