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Zbl 0734.03012
Kosiorek, Jarosław
An axiom system for full 3-dimensional Euclidean geometry. (English)
[J] Math. Bohem. 116, No.2, 113-118 (1991). ISSN 0862-7959

Ein projektiver Raum über einem Körper F ist die Struktur $<U\sb 1\sp F,U\sb 3\sp F,\vert>$, wobei $U\sb 1\sp F$, $U\sb 3\sp F$ die Äquivalenzklassen in $F\sp 4\setminus \{0,0,0,0\}$ hinsichtlich der Proportionalität sind und $<x\sb 0,x\sb 1,x\sb 2,x\sb 3>\vert <a\sb 0,a\sb 1,a\sb 2,a\sb 3>,$ $<x\sb 0,x\sb 1,x\sb 2,x\sb 3>\in U\sb 1\sp F$, $<a\sb 0,a\sb 1,a\sb 2,a\sb 3>\in U\sb 3\sp F$, die Relation $\sum\sp{3}\sb{i=1}a\sb ix\sb i=0$ bedeutet. Die Elemente von $U\sb 1\sp F$ sind Punkte, die von $U\sb 3\sp F$ sind Ebenen. Die Linien $L(\alpha,\beta)$, $\alpha,\beta \in U\sb 3\sp F$, sind die Mengen $\{a\in U\sb 1\sp F:$ $a\vert \alpha \wedge a\vert \beta\}$. Wenn $<U\sb 1\sp F,U\sb 3\sp F,\vert>$ ein projektiver Raum über einem formal reellen, pythagoräischen Körper F ist, dann ist ein voller Euklidischer Raum über F die Struktur $<U\sb 1\sp F,U\sb 3\sp F,\perp >$, wobei $<a\sb 0,a\sb 1,a\sb 2,a\sb 3>\perp <b\sb 0,b\sb 1,b\sb 2,b\sb 3>$ für $<a\sb 0,a\sb 1,a\sb 2,a\sb 3>$, $<b\sb 0,b\sb 1,b\sb 2,b\sb 3>\in U\sb 3\sp F$ die Relation $\sum\sp{3}\sb{i=1}a\sb ib\sb i=0$ bedeutet. \par Die Ebene $\omega =<1,0,0,0>$ wird als eine spezielle Ebene bezeichnet. Die Menge $(U\sb 1\sp F)\sp*\subset U\sb 1\sp F$ ist die Menge $\{x\in U\sb 1\sp F:$ $x\vert\omega\}$. Die Elemente von $(U\sb 1\sp F)\sp*$ werden spezielle Punkte, die Elemente von $U\sb 1\sp F\setminus (U\sb 1\sp F)\sp*$ reguläre Punkte genannt. \par Sei $V\sb 1\sp F=U\sb 1\sp F\setminus (U\sb 1\sp F)\sp*$, $V\sb 3\sp F=U\sb 3\sp F\setminus \{\omega \}$. Es wird bewiesen, dass $<V\sb 1\sp F,V\sb 3\sp F,\vert',\perp'>$, wobei $\vert'$ und $\perp'$ die entsprechenden Einschränkungen von $\vert$ bzw. $\perp$ sind, ein Euklidischer Raum ist. Es wird ein Axiomensystem für den vollen Euklidischen Raum gegeben und bewiesen, dass dieses Axiomensystem genau den Begriff eines vollen Euklidischen Raums bestimmt.
[A.Tauts (Tallinn)]

MSC 2000:: *03B30 Foundations of classical theories
51A05 General theory of linear incidence geometry

Keywords: axiom system; Euclidean geometry; projective space; elliptic plane; formally real pythagorean field

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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