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JFM 68.0503.01
Hopf, H.
Fundamentalgruppe und zweite Bettische Gruppe. (German)
[J] Comment. math. Helvetici 14, 257-309 (1942). ISSN 0010-2571; ISSN 1420-8946/e

Bekanntlich ist die 1-dimensionale Bettische Gruppe $\frak{B}^1$ eines Komplexes gleich der Faktorkommutatorgruppe seiner Fundamentalgruppe $\frak{G}$. In dieser bedeutsamen Arbeit wird gezeigt, dass auch die 2-dimensionale Bettische Gruppe $\frak{B}^2$ durch $\frak{G}$ zwar nicht vollständig bestimmt, aber doch wesentlich beeinflusst wird. Sei nämlich $\frak{S}^2$ diejenige Untergruppe von $\frak{B}^2$, deren Elemente Bilder von Kugelflächen enthalten; dann ist die Faktorgruppe $\frak{B}^2/\frak{S}^2$ durch $\frak{G}$ eindeutig bestimmt und lässt sich aus $\frak{G}$ in folgender rein algebraischen Weise ableiten. $\frak{G}$ sei wie üblich als Gruppe in Erzeugenden und definierenden Relationen geschrieben, also als Faktorgruppe $\frak{G} \cong \frak{F}/\frak{R}$ einer freien Gruppe $\frak{F}$ nach einer Relationengruppe $\frak{R}$, $\frak{C}$ sei die Kommutatorgruppe von $\frak{F}$ und $\frak{C}(\frak{R})$ die von den Kommutatoren $frf^{-1}\,r^{-1}$ mit $f$ aus $\frak{F}$ und $r$ aus $\frak{R}$ erzeugte Untergruppe von $\frak{R}$ und $\frak{C}$. Dann lautet der Hauptsatz, dass $\frak{G}_1^{*}=\frak{B}^2/\frak{S}^2 \cong \frak{R} \frown \frak{C}/\frak{C}(\frak{R})$; insbesondere ist die letzte Bildung von der speziellen Darstellung von $\frak{G}$ durch $\frak{F}$ und $\frak{R}$ unabhängig. Ist z. B. $\frak{G}$ die freie abelsche Gruppe mit $p$ Erzeugenden, so ist $\frak{G}_1^{*}$ die freie abelsche Gruppe mit $p\choose 2$ Erzeugenden. Auch bei beliebigen abelschen Gruppen $\frak{G}$ lässt sich $\frak{G}_1^{*}$ leicht angeben. Das gleiche gilt auf Grund teils geometrischer teils algebraischer Methoden für eine Reihe weiterer Gruppen, insbesondere für Gruppen mit nur einer definierenden Relation. -- Aus diesem Satz ergeben sich wichtige Folgerungen sowohl geometrischer wie algebraischer Natur, die z. T. mit der Homotopietheorie von {\it W. Hurewicz} (Proc. Akad. Wet. Amsterdam 38, (1935); 112-119, 521-528; 39 (1936); 117-126, 215-224; F.~d.~M. 61$_{\text{I}}$, 618; 62$_{\text{I}}$, 678) in Zusammenhang stehen. Auch die Frage der Verallgemeinerung dieser Tatsachen auf den Fall höherer Dimensionen wird gestreift. Zieht man nur die klassischen Invarianten, die Fundamentalgruppe und die Bettischen Gruppen, heran, so gibt es nachweislich ausser den genannten keine weiteren Beziehungen zwischen ihnen. -- Weiterhin wird der Einfluss der Fundamentalgruppe auf die Schnitteigenschaften der Homologieklassen einer $n$-dimensionalen orientierbaren Mannigfaltigkeit untersucht. Es zeigt sich, dass die Schnitte zwischen je einer $(n-1)$-dimensionalen und einer 2-dimensionalen Klasse und die Schnitte zwischen je zwei $(n-1)$-dimensionalen Klassen durch die Fundamentalgruppe eindeutig bestimmt sind. In diesen Untersuchungen lässt sich die Beschränkung auf Mannigfaltigkeiten dadurch vermeiden, dass man an Stelle der klassischen die neuere Homologietheorie heranzieht, welche den Zyklen die Kozyklen gegenüberstellt. -- Für dreidimensionale Mannigfaltigkeiten ergeben sich durch diese Tatsachen Einschränkungen für die Fundamentalgruppe, u. a. der zuerst von {\it K. Reidemeister} (Mh. Math. Physik 43 (1936), 20-28; F.~d.~M. 62$_{\text{I}}$, 661) bewiesene Satz, dass als abelsche Fundamentalgruppen dreidimensionaler Mannigfaltigkeiten nur zyklische Gruppen und das direkte Produkt von drei unendlichen zyklischen Gruppen auftreten.
(Data of JFM: JFM 68.0503.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Franz, W.; Prof. (Berlin)]

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