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Denominateurs dans le theoreme des zeros de Hilbert. (Nominators in Hilbert’s zero theorem). (French) Zbl 0679.13010

Après le travail de D. Brownawell bornant de façon satisfaisante les degrès dans le théorème des zéros de Hilbert, se pose la question d’estimer les coefficients lorsque l’anneau de base est muni d’une quelconque notion de taille arithmétique. Nous précisons cette notion de taille pour une classe d’anneaux intègres englobant \({\mathbb{Z}}\), \({\mathbb{Z}}[T_ 1,...,T_ s]\), \({\mathbb{F}}_ q[T_ 1,...,T_ s]\) où \({\mathbb{F}}_ q\) est un corps fini. Par exemple si \(R={\mathbb{Z}}[T_ 1,...,T_ s]\), des tailles sur R sont données par \(\lambda.d^ 0_ Tr+\log (H(r))\quad (r\in R)\) avec \(\lambda\geq 1\) et H la hauteur usuelle.
Soit \(P_ 1,...,P_ m\in R[X_ 1,...,X_ n]\) sans zéro commun dans \(\overline{Frac(R)}^ n\), de degrés en \(X \leq x,\) et de tailles \(\leq T\), alors il existe \(r\in R\) de taille \(\leq c_ 1(T+D).D^ n\) et \(A_ 1,...,A_ m\) de degrés en \(X \leq c_ 2D^ n\) tels que \(r=A_ 1P_ 1+...+A_ mP_ m\), où \(c_ 1, c_ 2\) ne dépendent que de la dimension de Krull de R et de paramètres associés à la taille choisie. Si \(R={\mathbb{Z}}[T_ 1,...,T_ s]\) et pour la notion de taille précédente \(c_ 1\leq (n+s+2)^ 2.(72n+9)^{n+3}\), \(c_ 2\leq n+s+2\) sont indépendants de \(\lambda\).
Nous donnons deux démonstrations de ce type de résultat, l’une par la méthode de Brownawell via un théorème de Lipman-Teissier, l’autre par la méthode de Kollár. C. Berenstein et A. Yger utilisent notre résultat comme ingrédient de la méthode qu’ils développent pour obtenir de bonnes estimations de tailles des \(A_ 1,...,A_ m\) lorsque \(R={\mathbb{Z}}\) et que les autres estimations restent semblables par ailleurs.
Reviewer: P.Philippon

MSC:

13F20 Polynomial rings and ideals; rings of integer-valued polynomials
14A05 Relevant commutative algebra
13B25 Polynomials over commutative rings
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Full Text: DOI EuDML