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JFM 66.0523.01
Meijer, C. S.
Über eine Erweiterung der Laplace-Transformation. I, II. (German)
[J] Proc. Akad. Wet. Amsterdam 43, 599-608, 702-711 (1940). ISSN 0370-0348

Ähnlich wie das Fouriersche Integraltheorem als Spezialfall der Hankelschen Formel $$ \varphi (x) = \int\limits_{0}^\infty J_\nu (xy) (xy)^{\tfrac 12} \,dy \int\limits_{0}^\infty J_\nu (yt) (yt)^{\tfrac 12} \varphi(t)\, dt $$ für $\nu = \pm \frac 12$ aufgefasst werden kann, lässt sich der (bekanntlich mit dem Fourierschen Theorem eng zusammenhängenden) Formel $$ F(x) = \frac 1{2\pi i} \int\limits_{\beta - i \infty}^{\beta +i\infty} e^{xs}\, ds \int\limits_{0}^\infty e^{-st} F(t) \, dt, \tag 1 $$ in der die Laplace-Transformation zusammen mit ihrer Umkehrung zum Ausdruck kommt, eine Verallgemeinerung zuordnen, von der sie selbst der Spezialfall für $\nu = \pm \frac 12$ ist, nämlich : $$ F(x) = \frac 1{\pi i} \int\limits_{\beta - i \infty}^{\beta +i\infty} I_\nu (xs) (xs)^{\tfrac 12} \, ds \int\limits_{0}^\infty K_\nu (st)(st)^{\tfrac 12} F(t) \, dt. \tag 2 $$ Ein Satz, der hinreichende Bedingungen für die Gültigkeit dieser Formel (2) angibt und eine Verallgemeinerung eines bekannten Satzes über die Formel (1) ({\it Doetsch}, Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation (1937; F. d. M. $63_{\text{I}}$, 368), S. 105) darstellt, ist der folgende: \par Die Funktion $F (t)$ sei definiert für $t>0$ und in jedem endlichen Intervall $0 < T_1 \leqq t \leqq T_2$ im Riemannschen Sinn eigentlich integrabel. Das Integral $\int\limits_{0}^\infty e^{-at} |F(t)| \, dt$, sei konvergent mit $a \geqq 0$. In der Umgebung des Punktes $t= x> 0$ sei $F (t)$ von beschränkter Variation. Für $- \frac 12 \leqq \nu \leqq \frac 12$ und $\beta > a$ gilt dann: $$ \frac {F(x+0) + F(x-0)}2 = \frac 1{\pi i} \lim_{\lambda \to \infty} \int\limits_{\beta - i \lambda}^{\beta +i\lambda} I_\nu (xs) (xs)^{\tfrac 12} \, ds \int\limits_{0}^\infty K_\nu (st)(st)^{\tfrac 12} F(t) \, dt. $$ \par Es wird noch eine Reihe von weiteren Sätzen bewiesen, die sich auf die Zerlegung der Formel (2) in eine Transformation und ihre Umkehrung: $$ f(s) = \sqrt{\dfrac 2\pi} \int\limits_{0}^\infty K_\nu (st)(st)^{\tfrac 12} F(t) \, dt, \quad F(t) = \frac 1{i\sqrt{2\pi}} \int\limits_{\beta - i \infty}^{\beta +i\infty} I_\nu (ts) (ts)^{\tfrac 12} f(s) \, ds $$ beziehen.
(Data of JFM: JFM 66.0523.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Doetsch, G.; Prof. (Freiburg im Breisgau)]

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