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JFM 65.0405.02
Petrowsky, I. G.
Sur l'analyticité des solutions des systèmes d'équations différentielles. (French)
[J] Rec. math., Moscou, (2) 5, 3-70 (1939).

Es handelt sich im wesentlichen um die in einer Voranzeige (C. R. Acad. Sci. URSS (2) 17 (1937), 343-346; F. d. M. $63_{\text{I}}$, 468) behandelte Frage. Da gegenüber der Voranzeige einige Änderungen und Ergänzungen nötig sind, berichten wir unabhängig vom früheren Referat. Betrachtet wird ein System von Differentialgleichungen $$ F_ j (x_0, x_1, \dots, x_n, u_1, \dots, u_N, \dots) = 0, \quad j = 1, \dots, N, \tag 1 $$ wo die $F_j$ in einem Bereiche $G$ der komplexen Veränderlichen $x_0$, $u_1, \dots, u_N$ und der reellen Veränderliehen $x_1, \dots, x_n$ sowie der partiellen Ableitungen der $u_\varrho$ nach $x_0, x_1, \dots, x_n$ bis zur Ordnung $n_\varrho$ einschliesslich definiert sind $(\varrho = 1, \dots, N)$. Es soll $F_j$ analytisch sein in $x_0, u_1, \dots, u_N$ und deren Ableitungen, ferner soll $F_j$ stetige Ableitungen nach $x_1, \dots, x_n$ bis zur Ordnung $L = 2n + 2\left[\dfrac{n+1}{2}\right] + n^* + 7$ besitzen $(j =1, \dots, N)$, wobei $n^* = \text{ Max }(n_1, \dots, n_N)$ und $[y]$ die grösste ganze in $y$ enthaltene Zahl bedeutet. Es wird nun für alle reellen $\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_n$ mit $\sum\limits_{\nu = 0}^n \alpha_\nu ^2 = 1$ die Matrix $M$ gebildet $$ M = \|m_{jq}\| = \left\| \sum \frac{\partial F_q}{\partial \left( \dfrac{\partial^{k_0 + k_1+ \cdots + k_n} u_j} {\partial x_0^{k_0} \partial x_1^{k_1} \cdots \partial x_n^{k_n}}\right)} \,\alpha_0^{k_0} \alpha_1^{k_1} \cdots \alpha_n^{k_n}\right\| $$ (die Differentiationen nach $x_0$ sind als Differentiationen nach dem reellen Teil von $x_0$ zu verstehen), wobei über alle nicht negativen ganzen $k_\nu$ mit $\sum\limits_{\nu=0}^n k_\nu = n_j$ summiert ist. Es sei nun $$ M = \left\|\matrix M_1 & & & \\ & M_2 & & \\ & & \ddots & \\ & & & M_r \endmatrix\right\|, $$ wobei ausserhalb der quadratischen Matrizen $M_\varrho$ nur Nullen stehen (zugelassen ist dabei, dass $M_\varrho$ nur ein einziges Element $\alpha_0^{n_i}$ enthält). Bei der Bildung der in $M_\varrho$ enthaltenen $m_{jq}$ treten Ableitungen der $F_q$ nach Ableitungen der durch $M_\varrho$ bestimmten $u_j$ auf; die $F_q$ sollen nur Ableitungen der $u_j$ nach den dem $M_\varrho$ entsprechenden $x_{0\varrho} = x_0, x_{1\varrho}, \dots, x_{l\varrho}$ enthalten. Gefordet wird, dass Det $(M_\varrho)$ für kein System reeller $\alpha_{0\varrho}, \dots, \alpha_{l\varrho}$ mit $\sum\limits_{\lambda = 0}^l \alpha_{\lambda\varrho}^2 = 1$ verschwindet, und zwar dass dies für jedes $\varrho$ gilt. Dann sind für jede Lösung von (1) die $u_j$ im Bereiche $G$ analytisch in $x_0$, falls jedes $u_j$ stetige Ableitungen bis zur Ordnung $L - 1 + n_j$ besitzt. Ist überdies $G$ komplex auch hinsichtlich $x_1, \dots, x_n$, sind ferner die $F_j$ analytisch hinsichtlich ihrer sämtlichen Argumente, so sind die Lösungen von (1) analytisch gleichzeitig in $x_0, x_1, \dots, x_n$, falls $u_j$ stetige Ableitungen nach $x_0, x_1, \dots, x_n$ bis zur Ordnung $L - n^* - 1 + n_j$ besitzt und falls Det $(M)$ für kein System reeller $\alpha_0, \dots, \alpha_n$ mit $\sum a_\nu^2 = 1$ verschwindet. Ferner wird die Existenz von in $x_0$ nicht-analytischen Lösungen von (1), die aber Ableitungen beliebig hoher Ableitungen besitzen nachgewiesen unter folgenden Annahmen über (1): Det $(M)$ besitzt für ein System reeller $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ eine reelle Nullstelle $\alpha_0 \neq 0$ und ist nicht identisch Null für alle $\alpha_0, \alpha_1, \dots, \alpha_n$; die $F_j$ sind linear mit konstanten Koeffizienten in den $u_1, \dots, u_n$ und deren sämtlichen Ableitungen, während die von den $u_j$ und ihren Ableitungen freien Glieder analytisch in $x_0, x_1, \dots, x_n$ sind. Ähnliches gilt auch für gewisse nichtlineare Systeme. -- Der Fall, dass Det $(M)$ für ein System nicht sämtlich verschwindender, reeller $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ eine Nullstelle $\alpha_0 = 0$ besitzt, kann bei linearen Systemen mit konstanten Koeffizienten auftreten, sowohl wenn alle Lösungen analytisch sind in $x_0$, als wenn nichtanalytische, aber mit beliebig hohen Ableitungen versehene Lösungen vorhanden sind. -Schliesslich werden Beispiele linearer Systeme, ähnlich den obigen, angegeben, welche beliebig oft differenzierbare Lösungen besitzen, die aber nicht-analytisch sind gleichzeitig hinsichtlich aller ihrer Argumente.
(Data of JFM: JFM 65.0405.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Haupt, O.; Prof. (Erlangen)]

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