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JFM 64.0476.03
Riesz, M.
Intégrales de Riemann-Liouville et potentiels. (French)
[J] Acta Litt. Sci. Univ., Szeged, Sect. Sci. math. 9, 1-42 (1938).

Unter den möglichen Verallgemeinerungen des Integrals von Riemann-Liouville für mehrdimensionale Räume behandelt Verf. den elliptischen Fall. Es ist definiert durch die folgende Operation: $$ I^\alpha f(P)=\frac1{H_m(\alpha)} \int\limits_\varOmega f(Q) r_{PQ}^{\alpha-m} \,dQ $$ oder allgemeiner $$ \gather U^\alpha (P) = \frac1{H_m(\alpha)} \int\limits_\varOmega r_{PQ}^{\alpha-m}\, d\mu(Q),\qquad \alpha>0, \tag1\\ H_m(\alpha)=\frac{\pi^{\frac m2} 2^\alpha \varGamma\left(\dfrac\alpha2\right)} {\varGamma\left(\dfrac{m-\alpha}2\right)}. \endgather $$ Dann ist $$ \triangle U^{\alpha+2} (P) = -U^\alpha(P). $$ Dies führt auf die verallgemeinerten Potentiale der Ordnung $\alpha$ (vgl. {\it O. Frostman}, Meddelanden Mat. Sem. Univ. Lund 3 (1935); F. d. M. $61_{\text{II}}$, 1262). Aus den allgemeinen Bemerkungen über die Potentiale $$ v=\int\limits_\varOmega r^{\alpha-m}_{PQ}\,d\nu(Q)\qquad (0<\alpha<m) $$ sei der folgende Eindeutigkeitssatz hervorgehoben: Wenn $v$ ausser in einer Menge vom Masse null verschwindet, so ist die Belegung $\nu$ identisch null. Neu ist der Umstand, dass die Massen $\nu (e)$ über den ganzen Raum ausgebreitet sein dürfen. \par Es folgt dann ein Kapitel über Greensche Massen und die Greensche Funktion. Spiegelt man eine abgeschlossene Punktmenge F an der Kugel vom Radius 1 um einen äusseren Punkt $M$ von $F$ nach $F'$, bestimmt die Gleichgewichtsverteilung $\mu'$ ({\it Frostman}, l. c.) auf $F'$ und definiert $\mu_M(e)$ auf $F$ durch $d\mu_M(Q) = r^{\alpha-m}_{MQ'}d\mu'(Q')$, so ist $$ h_M(P)=\int\limits_F r^{\alpha-m}_{PQ} d\mu_M(Q) = r^{\alpha-m}_{MP} $$ für Punkte $P$ von $F$ ausser möglicherweise in einer Menge der Kapazität null. $\mu_M(e)$ heisst Greensche Massenverteilung von $F$ in bezug auf $M$. Die Funktion $G_M(P) = r^{\alpha-m}_{MP} - h_M(P)$ heisst Greensche Funktion von $F$. Sie ist gleich null für innere Punkte von $F$ und ausserdem in den Randpunkten mit möglicher Ausnahme einer Menge von der Kapazität null. Diese Ausnahmemenge hängt nicht von der Lage von $M$ ab. Ihre Punkte heissen irregulär. Bedeutet $F''$ die Ausnahmemenge, so gilt für jedes Potential von auf $F$ verteilten Massen die fundamentale Darstellung $$ v (M) = \int\limits_F v(Q)\,d\mu_M(Q) + \int\limits_{F''}G_M(Q)\, d\nu(Q). $$ Sind alle Punkte regulär, oder trägt $F''$ keine Masse, so ist das zweite Integral null, und man erhält die Verallgemeinerung der {\it de la Vallée-Poussin\/}schen Lösung des Dirichletschen Problems im Falle des Newtonschen Potentials (Ann. Inst. H. Poincaré 2 (1932), 169-232; F. d. M. $58_{\text{I}}$, 509). \par In weiterer Analogie wird die ``méthode du balayage'' entwickelt. Die bei Ausfegung der in einem Punkte lokalisierten Einheitsmasse auftretende Verteilung ist die Greensche. Der allgemeine Fall wird auf diesen mittels einer Integraldarstellung zurückgeführt. \par Es folgen Ausführungen über die Fortsetzung von Funktionen $f$, die auf einer beliebigen Punktmenge $F$ vorgegeben sind, durch die Formel $$ \overline f(M)=\int\limits_F f(Q)\,d\mu_M(Q). $$ Es wird gezeigt, dass man die Fortsetzung einer stetigen oder allgemeiner einer beschränkten Baireschen Funktion als Grenzfunktion einer beschränkten Folge von Potentialen gewinnen kann. Im Newtonschen Falle liefert dies eine Lösung des verallgemeinerten Dirichletschen Problems mit nichtstetiger Randfunktion. \par Zum Schluss wird noch die Frage behandelt, wann sich eine gegebene Funktion $f (Q)$ als Potential darstellen lässt. Sieht man von einer additiven Konstanten ab, so ist dies dann und nur dann möglich, wenn $f (Q)$ abwärts halbstetig ist und für jede abgeschlossene Punktmenge $F$ die Ungleichung $$ \int\limits_F f(Q)\, d\mu_M(Q)\leqq f(M) $$ erfüllt. Solche Funktionen bezeichnet Verf. als superharmonisch (surharmoniques) von der Ordnung $\alpha$.
(Data of JFM: JFM 64.0476.03; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Tautz, G.; Dr. (Breslau)]

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