Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

JFM 63.1157.04
Bol, G.
Gewebe und Gruppen. (Topologische Fragen der Differentialgeometrie LXV.). (German)
[J] Math. Ann. 114, 414-431 (1937). ISSN 0025-5831; ISSN 1432-1807/e

Bei den Geweben (aus drei Scharen 1, 2, 3 von ``Geraden'') spielen die folgenden Figuren eine Rolle. Die Figur $R$ ({\it Reidemeister}) sieht aus wie die allgemeine Parallelprojektion eines Würfels, Figur $S$ (Sechseck) wie ein regelmässiges Sechseck mit den drei Hauptdiagonalen, und Figur $T$ ({\it Thomsen}) wie ein allgemeineres Sechseck, bei dem aber doch noch jede Hauptdiagonale zwei Seiten parallel ist. Nach Auszeichnung eines Punktes und einer Schar kann man dem Gewebe einen Bereich $\varGamma $ mit einer beiderseits eindeutig umkehrbaren ``Multiplikation'' und mit Einselement zuordnen. Bekannt ist, dass der Bereich $\varGamma $ eine Gruppe ist, wenn die Figur $R$ sich immer schliesst, dass er eine kommutative Gruppe ist, wenn $T$ sich immer schliesst. Über $S$ war nichts derart bekannt. Der Verf. untersucht, welche algebraischen Eigenschaften des Bereiches sich ergeben, wenn man Voraussetzungen macht über die Schliessung derjenigen Figur $U_i$, die aus $R$ entsteht, wenn zwei der darin vorkommenden Geraden der $i$-ten Schar zusammenfallen. Schliessen sich die Figuren $U_1$ bzw. $U_2$ immer, so gelten im Bereich $\varGamma $ die Regeln $$ a\,\bigl((bc)\,b\bigr) = \bigl((ab)\,c\bigr)\,b\ \ \ \text{bzw.}\ \ \ \bigl(b\,(cb)\bigr)\,a=b\,\bigl(c\,(ba)\bigr).\tag1 $$ Schliessen sich $U_1$ und $U_2$, so schliesst sich auch $U_3$. Ein Bereich $\varGamma $ mit beiden Eigenschaften (1) heisst nach {\it R. Moufang} (Math. Ann., Berlin, 110 (1934), 416-430; JFM 60.0093.*) ``Quasigruppe''. Umgekehrt gehört zu jeder Quasigruppe ein Gewebe, in dem sich die Figuren $U_i$ schliessen. Die Punkte lassen sich als Drillinge $(b_1,b_2,b_3)$ von Elementen von $\varGamma $ mit $b_1b_2b_3=e$ darstellen (Klammersetzung ist gleichgültig), derart dass $b_i=$ const. eine Gerade der Schar $i$ ist. Ein Beispiel zeigt, dass auch eine kommutative Quasigruppe keine Gruppe (d. h. nicht assoziativ) zu sein braucht. Wechsel des zu Anfang ausgezeichneten Punktes führt zu abgeänderten Multiplikationen $$ x\,{\ssize \bigcirc }\,y= (xg) (g^{-1} y) $$ mit festem $g$. Sind diese alle identisch oder alle kommutativ, so ist $\varGamma $ eine Gruppe. Ein Nachtrag bringt ein Beispiel eines Gewebes, in dem sich $U_1$ aber nicht immer $U_2$ und $U_3$ schliessen.
(Data of JFM: JFM 63.1157.04; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Kneser, H.; Prof. (Tübingen)]

Citations: JFM 60.0093.*

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article Article Article Journal

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]