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JFM 63.0833.04
MacNeille, H. M.
Partially ordered sets. (English)
[J] Trans. Amer. math. Soc. 42, 416-460 (1937). ISSN 0002-9947; ISSN 1088-6850/e

Verf. studiert die Mengen, zwischen deren Elementen eine binäre Relation $\subset$ besteht, welche die beiden Axiome erfüllt: 1) Aus $a\subset b$ und $b\subset c$ folgt $a\subset c$. 2) Für alle $a$ gilt $a\subset a$. Es kann vorkommen, dass weder $a\subset b$ noch $b\subset a$ gilt, d.~h. man hat eine teilweise lineare Anordnung. In gewöhnlicher Weise definiert Verf. die Relation = und die Summen- und Produktbildung. Ausserdem heisst $a'$ Produktkomplement zu $a$, wenn $aa'=0$ ist und aus $ax=0$ immer $x\subset a'$ folgt; dabei ist $0\subset x$ für alle $x$. Auf der Vertauschung von $\subset$ und $\supset$ beruht der Dualismus der Theorie. \par Verf. klassifiziert die teilweise geordneten Mengen nach der Art, wie sie in bezug auf die Operationen abgeschlossen sein können; dabei werden sechs Postulate mit den dual entsprechenden betrachtet. Mittels einer Reihe von Beispielen werden einige Unabhängigkeiten dieser Postulate bewiesen. Weiter werden Homomorphismen, Isomorphismen usw. betrachtet, nämlich Abbildungen, die treu sind in bezug auf die Relation $\subset$ und eventuell noch gewisse Operationen. Danach studiert er die multiplikativen Systeme, nämlich solche, worin das Produkt $ab$ stets existiert; vollständig multiplikativ heisst das System, wenn die Produkte beliebig (auch unendlich) vieler Elemente darin existieren. Ist das System (vollständig) multiplikativ sowohl in bezug auf $\subset$ wie auf $\supset$, so heisst es (complete) ``lattice" (Verband nach {\it Fritz Klein\/}). Er untersucht die Bedingung dafür, dass die Multiplikation distributiv ist. Weiter beweist er Sätze über Komplemente, indem drei weitere Postulate hinzugefügt werden. Bedingungen dafür, dass die Menge eine {\it Boole\/}sche Algebra darstellt, werden angegeben. \par In dem letzten Teil der Arbeit werden Erweiterungen der Mengen studiert. Gewisse eindeutig bestimmte minimale Erweiterungen heissen kanonisch. Unter Anwendung der {\it Dedekind\/}schen Schnitte zeigt er, dass eine kanonische Erweiterung der Menge $K$ zu einem vollständigen Verband $L$ stets möglich ist. Ist $K$ eine {\it Boole\/}sche Algebra, so ist $L$ eine vollständige {\it Boole\/}sche Algebra. Zum Schluss untersucht Verf. die Erweiterung der distributiven Verbände zu {\it Boole\/}schen Algebren. Er beweist z.~B., dass jede teilweise geordnete Menge zu einer vollständigen {\it Boole\/}schen Algebra derart erweitert werden kann, dass 0 und 1 (Allelement), endliche Produkte und unbeschränkte Summen erhalten bleiben. (III~5~B.)
(Data of JFM: JFM 63.0833.04; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Skolem, T.; Prof. (V. Aker bei Oslo)]

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