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JFM 63.0308.03
Wirtinger, W.
Ein Integralsatz über analytische Gebilde im Gebiete von mehreren komplexen Veränderlichen. (German)
[J] Mh. Math. Phys. 45, 418-431 (1937). ISSN 0026-9255; ISSN 1436-5081/e

Im Raume von $n$ komplexen Veränderlichen $z_k = x_k + ix_{n+k}$ ($k=1$,\dots,$n$) werden für die Funktionen der $2n$ reellen Veränderlichen die Differentialquotienten nach $z_k$ und $\overline{z}_k$ ausschliesslich benutzt. (Siehe schon die grundlegende Arbeit des Verf.: Math. Ann. 97 (1926), 357-375; F. d. M. 52, 342 (JFM 52.0342.*)-343.) \par Verf. beweist nun zuerst, dass die $n$-dimensionalen bzw. $(2n - 1)$-dimensionalen Integrale über $F\cdot d(z_1,\dots,z_n)$ und $$ \varPhi d\varPsi{\tsize\sum\limits_{\alpha=1}^{n}} d(z_{\alpha+1},\dots,z_{\alpha+n-1}, \overline{z}_{\alpha+1},\dots,\overline{z}_{\alpha+n-1}) $$ bei festgehaltenem Rande des Integrationsfeldes vom Wege unabhängig sind, wenn $F$ bzw. $\varPhi$ und $\varPsi$ im Zwischengebiete sich regulär verhalten. (Die Indices der Differen\-tiale sind mod~$n$ zu nehmen.) Die zweite Aussage enthält eine Verallgemeinerung des {\it Cauchy\/}schen Residuensatzes für den Raum der $z_1$,\dots, $z_n$. Es sei eine abteilungs\-weise stetig differenzierbare, geschlossene, orientierbare Hyperfläche $M_{2n-1}$ von $(2n - 1)$ Dimensionen gegeben, die ihrerseits einen Bereich $\frak B$ des $2n$-dimensionalen Raumes umschliesst. Im abgeschlossenen Bereich $\frak B$ sei die Funktion $\varPhi$ regulär und $\varPsi$ meromorph. Das Volumenelement von $\varPsi = 0$ sei $dV_{2n-2}$ und das von $\varPsi^{-1}=0$ sei $dW_{2n-2}$. (Allgemein ist das Volumenelement eines {\it analytischen\/} Gebildes $G_\mu$ von $2\mu$ reellen Dimensionen $$ dV_{2\mu}=\left(\dfrac{i}{2}\right)^\mu {\tsize\sum\limits_{\beta_1<\beta_2\cdots<\beta_\mu\leqq n}} d(z_{\beta_1},z_{\beta_2},\dots,z_{\beta_\mu},\overline{z}_{\beta_1},\dots, \overline{z}_{\beta_\mu})\big). $$ Dann gilt $$ \displaylines{\indent(1)\quad {\tsize\int\limits_{M_{2n-1}}}\varPhi d\log\varPsi{\tsize\sum\limits_{\alpha=1}^{n}} d(z_{\alpha+1},z_{\alpha+2},\dots,z_{\alpha+n-1}, \overline{z}_{\alpha+1},\overline{z}_{\alpha+2},\dots,\overline{z}_{\alpha+n-1}) \hfill\cr \hfill =(2\pi i)2^{n-1}i^{n-1}({\tsize\int}\varPhi dV_{2n-2}-{\tsize\int}\varPhi dW_{2n-2}). \cr } $$ Sind $\varPhi$ und $\varPsi$ nur von $z=z_1$ abhängig, so erhalten wir $$ {\tsize\int}\varPhi d\log\varPsi=2\pi i({\tsize\sum}\varPhi_0-{\tsize\sum}\varPhi_\infty), $$ wobei $\varPhi_0$ (bzw. $\varPhi_\infty$) die Werte von $\varPhi$ an den Null- (bzw. Unendlichkeits)stellen von $\varPsi$. \par Bei der Anwendung von (1) auf $2p$-fach periodische Funktionen ergibt sich eine Analogie zu einem bekannten {\it Liouville\/}schen Satze: Der Inhalt (gemessen mit Hilfe des Volumenelementes $dV_{2n-2}$) der Mannigfaltigkeit im Periodenparallelotop, in welchem eine $2p$-fach periodische Funktion den gleichen Wert annimmt, ist {\it unabhängig\/} von diesem Werte und ein ganzzahliges Vielfaches des angegebenen Volumens einer gewissen {\it Jacobi\/}schen Funktion.
(Data of JFM: JFM 63.0308.03; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Behnke, H.; Prof. (Münster in Westfalen)]

Citations: JFM 52.0342.*

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