Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

JFM 62.1153.02
Chevalley, C.
Généralisation de la théorie du corps de classes pour les extensions infinies. (French)
[J] J. Math. pur. appl. (9) 15, 359-371 (1936).

Sei $k$ ein algebraischer Zahlkörper endlichen Grades. Die Klassenkörpertheorie charakterisiert jede abelsche Erweiterung $K/k$ endlichen Grades durch eine aus Idealen von $k$ bestehende Gruppe. Verf. gibt eine entsprechende Charakterisierung für die abelschen Erweiterungen $K/k$ unendlichen Grades. Er stellt zunächst durch Hinweis auf das Beispiel des Körpers aller Einheitswurzeln von $p$-Potenzordnung ($p$ feste Prim\-zahl) fest, dass man zur Charakterisierung nicht einfach den Durchschnitt der zu\-geordneten Idealgruppen eines $K/k$ aufbauenden Körperturms nehmen kann. Den richtigen Ansatz findet er vielmehr dadurch, dass er bereits in der endlichen Klassen\-körpertheorie zur Charakterisierung Gruppen heranzieht, die statt aus Idealen aus einer neuen Art idealer Elemente bestehen. Dem Vorgange des Zbl. Ref. ({\it Grunwald}, Zbl. Math. Grenzgeb. 15 (1937), 151-152) folgend will ich diese neuartigen idealen Ele\-mente auch hier {\it Idele\/} nennen. Ihre Verwendung statt der Ideale ergibt bereits für die endliche Klassenkörpertheorie eine willkommene begriffliche und sachliche Vereinfachung. \par Der Begriff des Ideals entspringt aus der Nichterfüllbarkeit der Forderung, eine Zahl aus $k$ zu finden, die für alle Primstellen $\frak p$ von $k$ vorgeschriebene Ordnungszahlen hat, wobei für fast alle $\frak p$ die Ordnungszahl 0 vorgeschrieben ist. Verschärft man die durch die Ordnungszahlen ausgedrückten groben $\frak p$-adischen Annäherungsvorschriften durch Vorschreiben der gesamten $\frak p$-adischen Entwicklungen, so entspringt der vom Verf. neu eingeführte Begriff des idealen Elements (Idels). Diese werden nämlich er\-klärt als die Systeme $\frak a = (a_{\frak p})$, deren einzelne Komponenten $a_{\frak p}$ Elemente $\neq0$ aus den sämtlichen $\frak p$-adischen Erweiterungen von $k$ sind, mit der Einschränkung, dass $a_{\frak p}$ für fast alle $\frak p$ Einheit ist (die Ordnungszahl 0 hat). Dabei sind auch die unendlichen Prim\-stellen einbezogen; Einheit für eine solche bedeutet nur $\neq0$. Diese Idele bilden bei kom\-ponentenweiser Multiplikation eine abelsche Gruppe $\frak a$, in der die Multiplikations\-gruppe $a$ von $k$ in Gestalt der speziellen Systeme $a = (a)$ (mit lauter gleichen Kompo\-nenten $a\neq0$ aus $k$) als Untergruppe der {\it Hauptidele\/} vertreten ist. {\it Idelklassen\/} seien stets in bezug auf diese Untergruppe $a$ als Hauptklasse verstanden. In naheliegender Weise wird die Relativnorm $N_{K/k}(\frak A)$ eines Idels $\frak A$ einer endlich-algebraischen Er\-weiterung $K/k$ als Idel von $k$ erklärt. Ist $\frak m=\prod\limits_{\frak p}\frak m_{\frak p}$ ein Kongruenzmodul wie in der bisherigen Klassenkörpertheorie, so wird die {\it Kongruenz\/} $\frak a\equiv\frak b \bmod \frak m$ für Idele durch $$ a_{\frak p}\equiv b_{\frak p}\,{\bmod}^{\times}\,\frak m_{\frak p} \text{ für alle $\frak p$ mit } \frak m_{\frak p}\neq1 $$ erklärt. Daneben tritt die {\it Überkongruenz\/} $\frak a\equiv\frak b \bmod \frak m$, erklärt durch $$ a_{\frak p}\equiv b_{\frak p}\,{\bmod}^{\times}\,\frak m_{\frak p} \text{ für alle }\frak p $$ \par Mit dem Idealbegriff besteht folgender Zusammenhang: Die Gruppe der Idele $\frak e\equiv1\bmod 1$ hat mit $k$ als Durchschnitt die Einheitengruppe von $k$, und die Klassen der Faktorgruppe $\frak a/\frak e$ entsprechen isomorph den Idealen von $k$. \par Verf. übersetzt nun durch einfache Überlegungen den Tatbestand der endlichen Klassenkörpertheorie aus der Sprache der Ideale in die Sprache der Idele. Das Über\-setzungsergebnis ist folgendes: Die abelschen Erweiterungen $K/k$ endlichen Grades entsprechen umkehrbar eindeutig den {\it Kongruenzidelklassengruppen\/} von $k$, d. h. den\-jenigen Idelklassengruppen, die einen {\it Idelüberstrahl\/} $\frak a\equiv1\bmod\frak m$ enthalten (grösst\-mögliches $\frak m=$ Führer $\frak f$). Die $K/k$ zugeordnete Idelklassengruppe besteht aus genau denjenigen Idelklassen, die Relativnormen von Idelen $\frak A$ von $K$ enthalten, ist also gegeben durch $a\cdot N_{K/k}(\frak A)$. Die Faktorgruppe $\frak a/a\cdot N_{K/k}(\frak A)$ ist isomorph zur Galoisgruppe von $K/k$, und dieser Isomorphismus wird dargestellt durch das Produkt $$ (\frak a,K/k)={\tsize\prod\limits_{\frak p}} \left(\dfrac{\frak a,\,K/k}{\frak p}\right)= {\tsize\prod\limits_{\frak p}} \left(\dfrac{\frak a_{\frak p},\,K/k}{\frak p}\right) $$ der Normenrestsymbole für die sämtlichen Primstellen $\frak p$. Das so definierte Symbol $(\frak a, K/k)$ ist hier das Äquivalent des {\it Artin\/}-Symbols der bisherigen Theorie. Die {\it Hilbert\/}\-sche Produktformel erscheint als unmittelbare Folge der genannten Isomorphietat\-sache, nach der ja $(a, K/k)=1$ ist. Verf. bemerkt überdies, dass sich dieser Tatbestand auch direkt, ohne den Umweg über die idealtheoretische Begründung der Klassenkörper\-theorie, herleiten lässt und dass sich dabei der Aufbau der Klassenkörpertheorie verein\-facht. \par Von dieser neuen Gestalt der endlichen Klassenkörpertheorie ausgehend kann Verf. jetzt leicht den Übergang zur unendlichen Klassenkörpertheorie vollziehen. Er kann zunächst das Symbol $(\frak a, K/k)$ für unendlichen Grad als Automorphismus von $K/k$ eindeutig dadurch definieren, dass es für jeden Teilkörper $K_0/k$ endlichen Grades den Automorphismus $(\frak a, K_0/k)$ bewirkt, und erhält dann eine $K/k$ zugeordnete Idel\-klassengruppe $H$ als die Gesamtheit der Idele $\frak a$ mit $(\frak a, K/k)=1$. \par Für die Formulierung des Tatbestandes der Klassenkörpertheorie nimmt Verf. dann topologische Begriffsbildungen hinzu, nämlich einerseits die schon von {\it Krull\/} für die Übertragung der Galoisschen Theorie als wesentlich erkannte Topologie in der Galoisgruppe von $K/k$, und andrerseits eine Topologie in der Idelgruppe von $k$ mit dem (auf die sämtlichen Primstellen erstreckten) Umgebungsbegriff $\frak x\equiv\frak a\bmod \frak m$. Es ergibt sich, dann folgender klassenkörpertheoretische Tatbestand: Die sämtlichen abel\-schen Erweiterungen $K/k$ entsprechen auf Grund der angegebenen Zuordnung umkehr\-bar eindeutig den topologisch-abgeschlossenen Idelklassengruppen $H$. Dabei ist die Faktorgruppe $\frak a/H$ topologisch-isomorph zu Galoisgruppe von $K/k$, und zwar liefert das Symbol $(\frak a, K/k)$ einen topologischen Isomorphismus zwischen diesen Gruppen. An Stelle der für endlichen Grad bestehenden Kongruenzbedingung, dass $H$ einen Idel\-überstrahl enthält, tritt also bei Zulassung auch unendlichen Grades die Bedingung der topologischen Abgeschlossenheit. Es sei noch bemerkt, dass sich der Beweis des Existenz\-satzes hier dadurch besonders einfach gestaltet, dass man die Klassenkörpereigenschaft des umfassendsten abelschen Körpers $A/k$ heranzieht; die ihm zugeordnete Idelklassen\-gruppe ist die topologisch-abgeschlossene Hülle $\overline{a}$ der Hauptidelgruppe $a$.
(Data of JFM: JFM 62.1153.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Hasse, H.; Prof. (Göttingen)]

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]