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JFM 62.0815.01
Wirtinger, W.
Eine Determinantenidentität und ihre Anwendung auf analytische Gebilde in euklidischer und Hermitescher Massbestimmung. (German)
[J] Mh. Math. Phys. 44, 343-365 (1936). ISSN 0026-9255; ISSN 1436-5081/e

Verf. leitet zunächst eine sehr allgemeine Determinantenidentität ab. Aus ihr ergibt sich eine Ungleichung, die in folgender Weise geometrisch gedeutet werden kann: Im $2n$-dimensionalen euklidischen Raum $E_{2n}$ (der auf rechtwinklige cartesische Koordinaten $x_\alpha $ bezogen sei) ist das Volumen $V$ des von $2m$ Vektoren $$ x_{\alpha\gamma } \ \ (\alpha =1,\ldots,2n;\ \gamma =1,\ldots,2m;\ m\leqq n) $$ aufgespannten Parallelotops nie kleiner als der Absolutwert der Summe der Projektionen dieses Parallelotops auf die $\dsize \binom n m$ Koordinatenmannigfaltigkeiten $$ (\alpha _1, \alpha _2,\ldots,\alpha _m,\ n+\alpha _1, n+\alpha _2,\ldots, n+\alpha _m)\qquad (\alpha _1,\alpha _2,\ldots,\alpha _m\leqq n). $$ Das Gleichheitszeichen gilt nur dann, wenn das Parallelotop in einem durch $2 (n - m)$ Gleichungen der Gestalt $$ b_{\beta\lambda }\,z_\beta =0,\ \ \bar b_{\beta\lambda }\,\bar z_\beta =0, \quad (\lambda =1,\ldots,n-m;\ \beta =1,\ldots,n;\ z_\beta =x_\beta +ix_{n+\beta })\tag1 $$ bestimmten ``analytischen'' linearen Raum $E_m$ liegt. (Überstreichen bedeutet Übergang zur konjugiert komplexen Grösse.) Nach Ableitung einer zweiten Ungleichung, die weiterhin benutzt wird, wendet sich Verf. den ``Gebilden'' $G_m$ zu: das sind $2m$-dimensionale Mannigfaltigkeiten $M_{2m}$, bei welchen (im allgemeinen) die $z_\beta $ analytische Funktionen von $m$ unter ihnen und die $\bar z_\beta $ die konjugierten analytischen Funktionen von $m$ unter den letzteren sind. Aus der ersten Ungleichung folgt dann der Satz: Legt man im $E_{2n}$ durch eine geschlossene orientierbare $M_{2m-1}$ eine orientierbare $M_{2m}$, so gilt für deren Volumen $V_{2m}$ die Ungleichung $$ V_{2m} \geqq 2^{-m}\,|I|,\ \ I=\sum \int dz_{\beta _1}\,dz_{\beta _2}\,\ldots \, dz_{\beta _m}\ d\bar z_{\beta _1}\,d\bar z_{\beta _2}\,\ldots \,d\bar z_{\beta _m},\tag2 $$ wo die Summe über alle Kombinationen der $\beta $ zur $m$-ten Klasse zu erstrecken ist. Das Gleichheitszeichen gilt nur dann, wenn die $M_{2m}$ eine $G_m$ ist. Die Integralinvariante $I$ hängt nur von der $M_{2m-1}$ ab. Für geschlossene $M_{2m}$ ist $I = 0$. Auch ist der Satz nur auf Mannigfaltigkeiten anwendbar, die ganz im Endlichen liegen. Verf. zeigt nun, dass ein ganz entsprechendes Theorem (mit einer anderen Integralinvariante) auch im komplexen projektiven Raum $R_{2n-2}$ von $n$ homogenen Veränderlichen gilt, dem eine elliptische {\it Hermite}sche Massbestimmung ({\it E. Study}, Math. Ann. 60 (1905), 321-378; F. d. M. 36, 614-615) aufgeprägt ist. Dieses Theorem gestattet auch Folgerungen für geschlossene Mannigfaltigkeiten, insbesondere diese: Alle algebraischen Mannigfaltigkeiten der Ordnung $N$ und der Dimension $\mu $ haben das Volumen und die Integrahnvariante $N\dfrac {(4\pi )^\mu }{\mu !}$ und sind die Mannigfaltigkeiten kleinsten Volumens unter den $M_{2\mu }$ mit gleicher Integralinvariante. Hierdurch sind unter den geschlossenen orientierbaren Mannigfaltigkeiten gerader Dimension die algebraischen Mannigfaltigkeiten $N$-ter Ordnung gekennzeichnet. Zum Schluss wird an dem Beispiel einer algebraischen Kurve der letzte Satz durch direkte Rechnung bestätigt und an einem weiteren Beispiel gezeigt, wie die abgeleiteten Sätze zur Berechnung der Ordnung eines in Parameterdarstellung gegebenen algebraischen Gebildes dienen können.
(Data of JFM: JFM 62.0815.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Berwald, Prof. (Prag)]

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