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JFM 61.0205.01
Koksma, J. K.
Ein mengentheoretischer Satz über die Gleichverteilung modulo Eins. (German)
[J] Compositio math. 2, 250-258 (1935).

Bekanntlich weiss man noch nicht, ob die Zahlen $e^x$ $(x = 1, 2, \dots)$ gleichverteilt mod 1 sind; Verf. beweist in dieser Richtung folgenden interessanten Satz: Für fast alle $\theta > 1$ ist $\theta^x$ gleichverteilt mod 1. Dieser Satz ergibt sich durch Spezialisierung des folgenden allgemeineren Ergebnisses: Seien $\alpha$ und $\beta$ zwei reelle, endliche Zahlen mit $\alpha < \beta$; sei ferner $f(x, \theta)$ für jede natürliche Zahl $x$ eine reelle stetige Funktion von $\theta$ für $\alpha \leqq \theta \leqq \beta$ und habe $$ \varPhi(x_1, x_2, \theta) = f(x_1, \theta) - f(x_2, \theta) \qquad (\alpha \leqq \theta \leqq \beta) $$ für je zwei natürliche Zahlen $x_1$ und $x_2$ mit $x_1 \ne x_2$ eine stetige Ableitung $\varPhi_\theta^\prime$ nach $\theta$, die im Intervall $\alpha \leqq \theta \leqq \beta$ monoton und ungleich Null ist. Wird $$ A_N = \frac{1}{N^2} \sum_{x_1=1}^N \sum_{x_2=1}^{x_1-1} \text{ Max }\left(|\varPhi_\theta^\prime(x_1, x_2, \alpha)|^{-1}, \ |\varPhi_\theta^\prime(x_1, x_2, \beta)|^{-1}\right) $$ für ganzes $N \geqq 2$ gesetzt, so gebe es eine monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen $N_1, N_2, \dots$ mit $$ \lim_{\nu\to \infty} \frac{N_{\nu+1}}{N_\nu} \to 1, $$ für die die Reihe $\sum\limits_{\nu=1}^\infty A_{N_\nu}$ konvergiert. Dann ist für fast alle $\theta$ aus $\alpha \leqq \theta\leqq \beta$ die Zahlfolge $$ f(x, \theta) \qquad (x =1, 2, 3, \dots) $$ gleichverteilt mod 1.
(Data of JFM: JFM 61.0205.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Mahler, K.; Dr. (Krefeld)]

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