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JFM 60.1025.01
Bergmann, Stefan
On a kernel function of a domain and their boundary behavior. I, II. (Über die Kernfunktion eines Bereiches und ihr Verhalten am Rande. I, II.) (German)
[J] J. f. M. 169, 1-42 (1932); 172, 89-128 (1934). ISSN 0075-4102; ISSN 1435-5345/e

I. $\frak {B}$ sei ein schlichter, beschränker Bereich des $(z_1,z_2)$-Raumes ($z_1 = x_1 + iy_1$, $z_2 = x_2 + iy_2$), $F_{\frak {B}}$ die Familie der in $\frak {B}$ regulären Funktionen $f(z_1, z_2)$, für die $\int _{\frak {B}} |f|^2 d \omega $ ($d \omega $ das vierdimensionale Volumenelement) endlich ist. Bilden die Funktionen $\varphi _0, \varphi _1, \dots, \varphi _{\nu }, \dots $ aus $F_{\frak {B}}$ ein vollständiges, normiertes Orthogonalsystem - zu jedem $\frak {B}$ gibt es wenigstens ein solches -, so ist die Kernfunktion $K_{\frak {B}} (z_1,z_2)$ definiert durch: $$K_{\frak {B}} (z_1, z_2) = \sum _{\nu =0}^{\infty } | \varphi _{\nu } (z_1, z_2)|^2.$$ Sie ist eine in $\frak {B}$ reellanalytische Funktion von $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ und erweist sich als unabhängig von dem gewählten Orthogonalsystem. Es gilt dann die wichtige Beziehung: $$K_{\frak {B}} (z_1, z_2) = \text {obere Grenze} \quad |h(z_1, z_2)|^2,$$ wo $h$ all Funktionen aus $F_{\frak {B}}$ mit $\int _{\frak {B}} |h|^2 d \omega \leq 1$ durchläuft. Es wird nun das Verhalten der Kernfunction bei Annäherung an den Rand untersucht. Dazu werden zunächst vier verschiedene Arten der Annäherung an einen Randpunkt definiert. Wird nun der Rand von $\frak {B}$ in der Umgebung des Randpunktes $Q$ dargestellt durch die zweimal stetig differenzierbare Hypefläche $\frak {H}: \Phi (x_1, y_1, x_2, y_2) =0$, so gilt folgendes: Ist $\frak {H}$ im Punkt $Q$ pseudokonvex von innen (das Innere von $\frak {B}$ sei in der Umgebung von $Q$ durch $\Phi < 0$ gegeben), d.h. ist $L(\Phi )$ (der {\it Levi}sche Differentialausdruck) in $Q$ kleiner als Null, so bleibt $K_{\frak {B}}$ bei jeder Art der Annäherung an $Q$ beschränkt. - Im Falle $L(\Phi )>0$ in $Q$ (Pseudokonvexität von au\ss en) wird $K_{\frak {B}}$ bei der ersten Art der Annäherung von dritter Ordnung unendlich. - Die dritte Möglichkeit, $L(\Phi )=0$, wird nur für zwei spezielle Fälle behandelt. - Insgesamt werden die Randpunkte nach der Art des Unendlichwerdens von $K_{\frak {B}}$ in Randpunkte nullter, zweiter, dritten und vierter Ordnung eingeteilt. In jeder dieser vier Klassen gibt es dann noch ``Limespunkte'', die durch ein besonders charakteristisches Verhalten der Kernfunktion ausgezeichnet sind. \par Die Beweise werden so geführt, da{\ss } der Bereich $\frak {B}$ durch eine pseudokonforme Transformation auf einen geeigneten Bereich $\frak {B}^*$ abgebildet wird, wobei die Hyperfläche $\frak {H}$ eine gewisse Normalgestalt annimmt (normale Koordinaten). Diese Beweistführung wird dadurch ermöglicht, da{\ss } die Kernfunktion eine relative Invariante gegenüber pseudokonformen Transformationen ist. Infolge dieser Invarianzeigenschaft von $K_{\frak {B}}$ wird durch $$ds^2 = \sum _{m,n=1}^2 T_{m \overline {n}} dz_m \overline {dz}_n \quad \text {mit} \quad T_{m \overline {n}} = \frac {\partial ^2 \log K_{\frak {B}}}{\partial z_m \partial \overline {z}_n}$$ in $\frak {B}$ eine (positiv definite) gegenüber pseudokonformen Abbildungen invariante Ma\ss bestimmung definiert. \par II. Es wird nun das Verhalten dieser Metrik am Rande von $\frak {B}$ untersucht. Es ergibt sich bei gewisser Annäherung an die Limespunkte $Q$ $m$-ter Ordnung $(m=2,3)$ bei Verwendung normaler Koordinaten die Beziehung $$\lim (z_1 + \overline {z}_1)^2 ds^2 = m | dz_1|^2.$$ Ist ferner $(t_1, t_2)$ ein Punkt aus $\frak {B}$ und $f(z_1, z_2; t_1, t_2)$ eine in $\frak {B}$ reguläre Funktion mit $f(t_1,t_2;t_1,t_2) =1$, für die $\int _{\frak {B}} |f|^2 d \omega $ einer bestimmten Ungleichung genügt, so gilt, wenn sich $(z_1, z_2)$ und $(t_1, t_2)$ in bestimmter Weise einem Limespunkt dritter Ordnung nähern: $$\lim \frac {z_1^3}{(t_1 + \overline {t}_1)^3} f (z_1, z_2; t_1,t_2) = 1.$$ Analoge Formeln gelten für Limespunkte zweiter Ordnung.
(Data of JFM: JFM 60.1025.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Zumbusch, H.; Dr. (Darmstadt)]

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