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JFM 60.0322.02
Leray, J.; Schauder, J.
Topologie et équations fonctionnelles. (French)
[J] Annales École norm. (3) 51, 45-78 (1934). ISSN 0012-9593

Durch Übertragung eines fundamentalen Begriffes der Topologie endlich-dimensionaler Räume ( des {\it Brouwer}schen Grades einer Abbildung) auf Abbildungen eines abstrakten Raumes gelingt es, der Lösungsmenge von gewissen, nicht notwendig linearen Funktionalgleichungen vom Typus $x-F(x)=0$ eine ganze Zahl, den Totalindex, zuzuschreiben, die invariant bleibt, wenn die Gleichung sich stetig ändert und die Lösungen gleichmä\ss ig beschränkt bleiben.\par Hieraus ergibt sich ein allgemeiner Weg für Existenztheoreme: Kann man eine solche Funktionalgleichung durch stetige Änderung in eine andere überführen, bei der sich leicht konstantieren lä\ss t, da\ss \ ihr Totalindex von 0 verschieden ist, so wei\ss \ man, da\ss \ dies auch für die Ausgangsgleichung gilt. Daraus folgt dann die Existenz mindestens einer Lösung.\par Diese Methode ist den sonstigen, auf sukzessiven Approximationen beruhenden Methoden besonders dadurch überlegen, da\ss \ sie über Existenz und lokale Eindeutigkeit der Lösungen der Übergangsschar keine Voraussetzungen macht.\par So werden z. B. Existenzsätze für das {\it Dirichlet}sche Problem der allgemeinsten Gleichung vom elliptischen Typ abgeleitet, die die Resultate von {\it S. Bernstein} wesentlich erweitern.\par $$\text {I. Topologischer Grad von gewissen Funktionaltransformationen.}$$ \par $\frak E$ sei ein abstrakter linearer, vollständiger und normierter Raum im Sinne von {\it Banach}. $F(x)$ sei eine vollstetige Funktionaltransformation, die auf der abgeschlossenen Hülle $\overline \omega $ einer offenen, beschränkter Menge $\omega $ von $\frak E$ definiert ist und deren Werte zu $\frak E$ gehören. Dann wird die Transformation$$y=x-F(x)\equiv \varPhi (x)$$betrachtet. Der Punkt $O$ gehöre nicht zum Bild $\varPhi (\omega ^\prime )$ des Rendes $\omega ^\prime $ von $\omega $. Es sei also$$h=\text {kürzester Abstand von }O\text { nach }\varPhi (\omega ^\prime )>0.$$ $F_h(x)$ sei eine auf $\overline \omega $ definierte Funktionaltransformation, die $F$ bis auf $h$ annähert: $$\|F(x)-F_h(x)\|<h,$$und deren Werte einer endlichdimensionalen Untermenge von $\frak E$ angehören. $\frak E_{n_{h}}$ sei eine Untermenge von $\frak E$ mit endlicher Dimensionszahl $n_h$, die alle Werte von $F_h(x)$ und mindestens einen Punkt von $\omega $ enthält. Der nichtleere Durchschnitt von $\omega $ und $\frak E_{n_{h}}$ bildet eine offene beschränkte Menge $\omega _{n_{h}}$; ihr Rand $\omega _{n_{h}}^\prime $ gehört zu $\omega ^\prime $. $\varPhi (\omega _{n_{h}}^\prime )$ hat also von $O$ mindestens den Abstand $h$. Die Transformation $$\varPhi _h(x)\equiv x-F_h(x)$$transformiert $\overline \omega _{n_{h}}$ in eine Menge $\varPhi _h(\overline \omega _{n_{h}})$, die auch in $\frak E_{n_{h}}$ liegt; sie approximiert $\varPhi $ bis auf $h$; also ist $$\text {kürzester Abstand von }O\text { nach }\varPhi _h(\overline \omega _{n_{h}})>0.$$ Daher hat $\varPhi _h$ auf $\overline \omega _{n_{h}}$ ``im Punkt $0$''einen bestimmen ``Grad''({\it Brouwer}, 1911; F. d. M. 42, 417 (JFM 42.0417.*)). Dieser hei\ss t der topologische Grad der Transformation $\varPhi $ im Punkt $O$: $$d[\varPhi,\omega,O]=d[\varPhi _h,\omega _{n_{h}},O].$$Durch die Transformation $x^\prime =x-b$ kann man $d$ auch für jeden Punkt $b$, der nicht auf $\varPhi (\omega ^\prime )$ liegt, definieren. - $d$ ist unabhängig von der Wehl von $F_h(x)$ und $\frak E_{n_{h}}$. \par $$\text {II. Begriff des Index und Bestimmung des Grades.}$$\par $a$ sei ein Punkt von $\omega $ und $b$ sein Bild; $b=a-F(a)\equiv \varPhi (a)$. Es wird vorausgesetz, da\ss \ eine hinreichend kleine Kugel $\|x-a\|<\varrho $ die einzige Lösung $x=a$ von $\varPhi (x)=b$ enthält. Dann existiert in jeder Kugel $\Sigma (\theta )$:$$\|x-a\|<\theta \varrho $$der Grad $d[\varPhi,\Sigma (\theta ),b]$ und ist von $\theta $ unabhängig. Diese Zahl hei\ss t der Index $i[\varPhi,a]$ des Punktes $a$.\par Ist $b$ das Bild von endlich vielen Punkten $a_1,\dots,a_\mu $ von $\overline \omega $, von denen keiner auf $\omega ^\prime $ liegt, so ist $$d[\varPhi,\omega,b]=\sum \limits _{t=1}^\mu i[\varPhi,a_l].$$ \par In diesem Fall lä\ss t sich also der Grad aus den Indices berechnen. \par Ist $\frak E$ schwach kompakt, $F$ schwach stetig und $x-F(x)$ eineindeutig in der Umgebung eines Punktes $a$ von $\omega $, so sit $i[\varPhi,a]=\pm 1$.\par Wenn $F$ in $a$ ein vollstetiges {\it Fréchet}sches Differential $A(x)$ besitz, so ist der Index von $y=x-F(x)$ in $a$ gleich dem Index von $y=x-A(x)$, wenn dieser existiert. \par $$\text {III. Theorie gewisser Funktionalgleichungen.}$$\par Es wird die Gleichung $x-F(x,k)=0$ unter folgenden Annahmen betrachtet:\par $(H):x$ und die Werte von $F$ gehören zu einem linearen, normierten und vollständigen Raum $\frak E$; die $k$ erfüllen ein abgeschlossenes, reelles Intervall $K$; in dem Raum $[\frak E\times K]$, der aus den Paaren $(x,k)$ besteht, wird die Entfernung so definiert: $\|(x,k)-(x^\prime,k^\prime )\|=\|x-x^\prime \|+|k-k^\prime |;$ $F(x,k)$ ist auf der abgeschlossenen Hülle $\overline \varOmega $ einer offenen und beschränkten Menge $\varOmega $ von $[\frak E\times K]$ definiert; $F(x,y)$ ist vollstetig auf $\overline \varOmega $ und gleichmä\ss ig stetig in $K$; der Rand $\varOmega ^\prime $ von $\varOmega $ enthält keine Lösung $(x,k)$ unseren Gleichung.\par Der Grad der Transformation $y=x-F(x,k)$ im Punkte $y=0$ soll der ``Totalindex der Lösungen'' der Gleichung hei\ss en.\par Weiter wird folgende Annahme gemacht: $(H^\prime )$: Für ein $k_0$ soll die Gleichung endlich viele Lösungen $a_1,\dots,a_\mu $ haben, die bekannt sind. Der Totalindex in $k_0$ sei von 0 verschieden. Dann gilt folgender Hauptsatz: Wenn für die Gleichung $x-F(x,k)=0$ die Annahmen $(H)$ und $(H^\prime )$ gelten, so existiert im Raume $[\frak E\times K]$ ein Kontinuum von Lösungen, längst dessen $k$ alle Werte aus $K$ annimmt. \par $$\text {IV. Anwendungen.}$$\par In diesem Abschnitt wird vorausgesetzt, da\ss \ von vornherein die gleichmä\ss ige Beschränktheit aller Lösungen bekannt ist, und der Hauptsatz für diesen Fall neu formuliert. Dann wird das {\it Dirichlet}sche Problem für die klassiche elliptische Gleichung und für allgemeinere Gleichungen umgeformt in eine Funktionalgleichung von dem in III. betrachteten Typ und der Hauptsatz angewendet. Das ergibt: Jede Gleichung von elliptischem Typus $$a\left (x_1,x_2;z;\frac {\partial z}{\partial x_1},\frac {\partial z}{\partial x_2}\right ) \frac {\partial ^2 z}{\partial x_1^2}+2b(\dots )\frac {\partial ^2 z}{\partial x_1\partial x_2}+c(\dotsb ) \frac {\partial ^2 z}{\partial x_2^2}=0$$besitzt wenigstens eine Lösung, die in einem konvexen Gebiet $\varDelta $ definiert ist und auf dem Rand $\varDelta ^\prime $ vorgegebene Werte annimmt. (Der Fall, da\ss \^^Mdie $a,b,c$ nicht von $z$ abhängen und analytisch sind, ist von {\it S. Bernstein} behandelt worden (1908; F. d. M. 39, 431 (JFM 39.0431.*)); hier ist $z$ im Gegensatz zu oben sicher eindeutig.)\par $$\text {V. Anwendungen (Forsetzung).}$$\par Hier werden Gleichungen vom Typus $G(x,x,k)=0$ betrachtet von der Art, da\ss \ die Gleichung $G(x,X,k)=0$ jedem System $(x,k)$ einen und nur einen Punkt $X$ zuordnet und die hierdurch definierte Transformation $X(x,k)$ vollstetig ist. Hierfür wird ein aus dem Fundamentalsatz flie\ss ender Satz aufgestellt, und dieser wird wieder auf Differentialgleichungen angewendet. Dies liefert z. B. folgendes Resultat:\par Es sei eine Lösung $z(x_1,\dots,x_n)$ der Gleichung zweiter Ordnung $$f\left (x_1,\dots,x_n;kz;\frac {\partial z}{\partial x_1},\dots,\frac {\partial z}{\partial x_n}; \frac {\partial ^2 z}{\partial x_1^2},\frac {\partial ^2 z}{\partial x_1\partial x_2},\dots, \frac {\partial ^2 z}{\partial x_n^2};k\right )=0$$zu finden, die im Innern eines gegebenen Gebietes definiert ist und auf dem Rande verschwindet. Die Gleichung sei für $k=0$ von elliptischem Typus und besitze eine Lösung, deren zweite Ableitungen eine {\it Hölder}sche Bedingung erfüllen. Variiert $k$ stetig, so besitz die Gleichung immer noch eine Lösung, solange nicht eine der beiden Möglichkeiten eintritt:\par (a) Es ergibt sich eine Lösung, in deren Umgebung die Gleichung nicht von elliptischem Typ ist.\par (b) Gewissen Werten des Parameters zwischen 0 und $k$ entsprechen Lösungen, von deren zweiten Ableitungen wohl jede eine {\it Hölder}sche Bedingung erfüllt, aber nicht alle dieselbe. (IV 13.)
(Data of JFM: JFM 60.0322.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Doetsch, G.; Prof. (Freiburg)]

Citations: JFM 42.0417.*; JFM 39.0431.*

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