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JFM 60.0017.02
Hilbert, D.; Bernays, P.
(Hilbert, D. ; Bernays, P.)
Grundlagen der Mathematik. I. XII+471 S. (German)
[B] Berlin, J. Springer (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen mit besonderer Ber\" ucksichtigung der Anwendungsgebiete, Bd. 40) (1934).

Das vorliegende Werk stellt die erste zusammenh\" angende, von Grund an aufbauende Ver\" offentlichung \" uber die {\it Hilbert}sche Beweistheorie dar. Damit ist zum ersten Male eine genaue Unterlage f\" ur alle Diskussionen \" uber diese Theorie gegeben; denn auf Grund der bisher vorliegenden Einzelver\" offentlichungen von {\it Hilbert, Bernays} und anderen Mitarbeitern sich ein Bild von dem gesamten Aufbau zu machen, war f\" ur den Fernerstehenden sicher nicht leicht, so da{\ss } Mi{\ss }ver\" andnisse vorgekommen sind. Hinzu kommt, da{\ss } sich der formale Aufbau der Theorie im einzelnen seit {\it Hilbert}s erster Ver\" offentlichung \" uber diesen Gegenstand (``\" Uber die Grundlagen der Logik und der Arithmetik''; Verhandlungen des 3. internationalen Mathematikerkongresses in Heidelberg, 1904; F. d. M. 36, 84 (JFM 36.0084.*)) dauern ver\" andert hat. Hier liegt nun die definitive Fassung vor. Das Werk ist in eine Reihe zu stellen mit den gro{\ss }en Ver\" offentlichungen von {\it Frege, Peano} und {\it Russel-Whitehead}; es enth\" alt, wie diese, einen streng formalen Aufbau der Logik und der Mathematik, dessen Eigenart hier darin besteht, da{\ss } die Mathematik nicht auf die Logik zur\" uckgef\" uhrt wird, sondern der Aufbau beider Disziplinen gleichzeitig erfolgt. Dazu kommt der ganz neue Gesichtspunkt {\it Hilbert}s, den Aufbau nicht nur mittels plausibel erscheinender Denkgesetze zu begr\" unden, sondern die Widerspruchsfreiheit des eingef\" uhrten Formalismus zu zeigen. Der vorliegende Band enth\" alt die Grundlagen; ein zweiter Band, von wessentlich geringere Umfange, der in K\" urze erscheinen soll, wird die Theorie bis zu ihrem heutigem Ergebnisstande weiterf\" uhren. \flushpar Was den Inhalt und die Gliederung der Darstellung im einzelnen anbetrifft, so beginnt der sustematische Aufbau erst mit dem 3. Kapitel. Die beiden ersten Kapitel dienen der Einf\" uhrung in die Problemstellung. Der Begriff einer streng formalen Axiomatik wird eingef\" uhrt, und es wird dargelegt, da{\ss } zu ihrer Erg\" anzung ein Widerspruchsfreiheitsbeweis geh\" ort, der in einfachem F\" allen, wenn es sich n\" amlich um endliche Bereiche handelt, durch die Methode der Aufweisung sich oft leicht f\" uhren l\" a{\ss }t, der aber auf Schwierigkeiten st\" o{\ss }t, sobald unendliche Bereiche in Frage kommen. Der Versuch, die Widerspruchsfreiheit in diesem Falle ebenfals durch die Methode der Aufweisung, und zwar an einem zahlenteoretischen Modell, zu zeigen, f\" uhrt sofort auf die Frage nach der Widerspruchsfreiheit der Arithmetik. Die Notwendigkeit, einen Widerspruchsfreiheitsbeweis f\" ur die Arithmetik unter Ausschlu{\ss } von axiomatisch-existentialen Annahmen zu f\" uhren, legt den Gedanken nahe, zu versuchen, die ganze Arithmetik ohne derartige Annahmen zu begr\" unden, um jeden Widerspruchsfreiheitsbeweis entbehrlich zu machen. Dieser Versuch wird im 2. Kapitel gemacht; es wird eine finite Zahlentheorie aufgebaut etwa im Sinne {\it Brouwer}s, zugleich aber auch auf die wesentlich Einbu{\ss }e an Systematik und Beweistechnik hingewiesen, die die Mathematik dadurch erfahren w\" urde. Das f\" uhrt zur klaren Umrei{\ss }ung der {\it Hilbert}schen Problemstellung: Aufbau einer rein formalen Mathematik, in der auch die axiomatisch-existentialen Schlu{\ss }weisen in voller Sch\" arfe ihren Platz finden, dann aber einer \" ubergeordneten Beweistheorie oder Metamathematik, die die Tragf\" ahigkeit und Widerspruchsfreiheit der formalen Schlu{\ss }weisen durch inhaltlich-finite \" Uberlegungen untersucht. \flushpar Kapitel 3 bis 5 bringen dann den Aufbau der formalen Logik, des Aussagenkalk\" uls und des Pr\" adikatenkalk\" uls der ersten Stufe mit Einbeziehung der Gleichheitsrelation. Der Aussagenkalk\" ul wird nicht axiomatisch, sondern als Theorie der Wahrheitsfunktionen entwickelt. Dagegen wird beim Pr\" adikatenkalk\" ul die mengentheoretische Behandlung, die das Analogon zur Theorie der Wahrheitsfunktionen darstellen w\" urde und sonst beim Aufbau der Logik h\" aufig benutzt wird, in Wahrung der {\it Hilbert}schen Grundeinstellung vermieden; vielmehr wird dieser Kalk\" ul als deduktives System entwickelt, dessen Widerspruchsfreiheit hier noch in trivialer Weise zu erkennen ist, da noch keine Bedingungen hinzukommen, die eine Endlichkeit des zugrunde gelegten Individuenbereichs ausschlie{\ss }en. Es sei bemerkt, da{\ss } die Darstellung breiter ist als zum Gesamtaufbau des Buchs erforderlich w\" are. Tats\" achlich enthalten die drei Kapitel einen gedr\" angten Lehrgang der theoretischen Logik, den {\it P. Bernays} noch durch zahlreiche interessante Einzelheiten - ich weise nur hin auf die ``positive Logik", die Unabh\" angigkeitsbeweise, die Behandlung der {\it k}-zahlig identischen Formeln, das ausf\" uhrliche Eingehen auf das Entscheidungsproblem -bereichert hat. \flushpar Kap. 6 enth\" alt die ersten Widerspruchsfreiheitsbeweise f\" ur unendlilche Bereiche. Bei diesen Beweisen wird nicht gleich auf die Widerspruchsfreiheit des gesamten Formalismus zugesteuert, sondern dieser Formalismus wird stufenweise aufgebaut, als widerspruchsfrei nachgewiesen und wieder erweitert, sobald sich zeigt, da{\ss } er noch nicht alle Schlu{\ss }weisen auszudr\" ucken gestattet. So wird hier f\" ur ein einfaches Axiomensystem der Arithmetik, das aber schon die {\it Dedekind}sche Definition des unendlichen Bereiches enth\" alt, die Widerspruchsfreiheit zun\" achst unter Ausschlu{\ss } von gebundenen Variablen, dann Hinzuziehung von All- und Seinszeichen und schlie{\ss }lich des Axioms der vollst\" andigen Induktion gezeigt. Beim Beweise der Widerspruchsfreiheit wird die aus fr\" uheren Ver\" offentlichungen bekannte Methode der Aufl\" osung der Beweisfigur in Beweisf\" aden und anschlie{\ss }ender Umformung jeder Formel in eine verifizierbare benutzt. Neu ist, da{\ss } auch die All- und Seinszeichen durch diese Methode mit erfa{\ss }t werden. Das war auf Grund neuerer Arbeiten von {\it Pre{\ss }burger} und {\it Herbrand} m\" oglich. Der Kalk\" ul mit den All- und Seinszeichen wird direkt eingef\" uhrt und st\" utzt sich nicht mehr auf das bekannte {\it Hillbert}sche $\varepsilon $-Axiom, das in der fr\" uheren Form \" uberhaupt verschwunden ist. \flushpar Kapitel 7 bringt dann die rekursiven Definitionen, deren Einf\" uhrung sich zwecks Aufbau der einfachsten zahlentheoretischen Funktionen als notwendig erweist. Der Widerspruchsfreiheitsbeweis gelingt aber, nach \" ahnlichen Methoden wie vorher, zun\" achst nur unter Ausschaltung der gebundenen Variablen, also bei wesentlicher Einschr\" ankung des Formalismus. Ein das Induktionsaxiom ersetzendes Induktionsschema kann allerdings noch zugelassen werden. Im \" ubrigen bringt dieses Kapitel, ganz unabh\" angig von dem Zweck des gesamten Werks, auch f\" ur den rein mathematisch Interessierten viel Wissenswertes. Es enth\" alt eine ganze Theorie der Rekursionen, wobei sich der Begriff der ``primitiven Rekursion'' und der ``simultanen'' Rekursion als besonders fruchtbar erweist. Interessant ist auch, zu sehen, wie alle einfachen zahlentheoretischen Begriffe sich auf Rekursionen zur\" uckf\" uhren lassen; z. B. wird die Rekursionsfunktion angegeben, die die Reihe der Primzahlen liefert. Im 8. Kapitel findet der Formalismus seinen vorl\" aufigen Abschlu{\ss }. Es wird nach dem Vorbild {\it Russel}s eine Pr\" adikatenfunktion eingef\" uhrt, die den Begriff ``derjenige, welcher'' auszudr\" ucken gestattet und die an Stelle des fr\" uheren {\it Hilbert}schen $\varepsilon $ tritt. Es ergibt sich nun die \" uberraschende Tatsache, da{\ss } nach Einf\" uhrung dieser Funktion mit Ausnahme im wesentlichen der Addition und Multiplikation alle weiteren Rekursionsfunktionen entbehrlich werden, da sie sich durch explizite Definitionen ausdr\" ucken lassen. Ferner wird gezeigt, da{\ss } bei Hinzunahme des ``derjenige, welcher'' zu einem an sich widerspruchsfreien Axiomensystem die Widerspruchsfreiheit erhalten bleibt. Danach ist es aber, um den ganzen Formalismus ohne Einschr\" ankung als einwandfrei nachzuweisen, ausreichend, wenn die Widerspruchsfreiheit f\" ur ein System gezeigt wird, das aus dem im 6, Kapitel behandelten dadurch entsteht, da{\ss } die rekursive Definition der Addition und der Multiplikation hinzugenommen wird. Dieser Nachweis selbst findet in dem vorliegenden 1. Band nicht mehr seinen Platz, es wird daf\" ur auf den kommenden 2. Band verwiesen.
(Data of JFM: JFM 60.0017.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Ackermann, W.; Dr. (Burgsteinfurt)]

Citations: JFM 36.0084.*

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