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JFM 58.1096.05
Peschl, E.
Über die Krümmung von Niveaukurven bei der konformen Abbildung einfachzusammen\-hän\-gen\-der Gebiete auf das Innere eines Kreises. (German)
[J] Math. Ann. 106, 574-594 (1932). ISSN 0025-5831; ISSN 1432-1807/e

Nach {\it Study} sind die {\it Green}schen Niveaulinien eines konvexen Gebietes wieder konvexe Kurven ({\it E. Study}, Vorlesungen über ausgewählte Gegenstände der Geometrie, 2. Heft (1913; F. d. M. 44, 755 (JFM 44.0755.*)), S. 109, Satz 13). Verf. verallgemeinert diesen Satz dahingehend, da\ss \ eine untere Schranke $k$ für die Krümmung des Randes des Gebietes auch für die Krümmung jeder Niveaulinie gilt, $k$ kann dabei positiv oder negativ sein, und im zweiten Falle braucht das Gebiet im gro\ss en nicht schlicht zu sein (Schlichtheit im kleinen wird vorausgesetzt). Da hierbei nichts über den Pol der zugehörigen {\it Green}schen Funktion vorausgesetzt wird, so ist es naturgemä\ss \^^M, jedem Punkt die untere Grenze der Krümmung aller durch ihn hindurchgehenden Niveaulinien zuzuordnen, oder also im Einheitskreis der {\it z}-ebene $(z = x + iy)$, aus dem das Gebiet durch konforme Abbildung $w(z)$ entstehe, jedem Punkt die untere Grenze $T(x,y)$ der Krümmung der Bilder aller durch $z$ hindurchgehenden, ganz im Einheitskreis liegenden Kreise, und diesen Ausdruck den weiteren Betrachtungen zugrunde zu legen. Im übrigen ist eine Skizze des Beweisganges im Rahmen eines Referates nicht möglich. \par Au\ss er dem Beweis des genannten Satzes enthält die Arbeit noch genaue Verzerrungssätze, d. h. scharfe Abschätzungen für $|w'(z)|$ und $|w(z)-w(0)|$ für Funktionen, die auf Gebiete abbilden, deren Rand überall mindestens die Krümmung $k$ hat. Die Schranken hängen dabei von $k, |w'(0)|$ und $|z|$ ab; sie werden erreicht bei Funktionen, die $|z|<1$ abbilden auf das Innere eines Kreises mit Radius $\frac 1{k}\^^M(k \geq 0)$, bzw. auf eine {\it Riemann}sche Fläche, die durch Ausstanzen eines Kreises mit $\frac 1{|k|}$ um den im Endlichen liegenden Verzweigungspunkt aus der des Logarithmus entsteht.
(Data of JFM: JFM 58.1096.05; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Grunsky, H.; Dr. (Berlin)]

Citations: JFM 44.0755.*

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