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JFM 58.0226.02
Wiener, N.
Tauberian theorems. (English)
[J] Annals of Math. (2) 33, 1-100 (1932). ISSN 0003-486X; ISSN 1939-8980/e

Im Anschlu\ss \ an frühere vorbereitende Arbeiten (1927, 1928; F. d. M. 53, 283 (JFM 53.0283.*); 54, 241) entwickelt Verf. eine gro\ss angelegte allgemeine Theorie der Um\-kehrsätze {\it Tauber}scher Art (Tauberian theorems) mittels harmonischer Analyse. Man wei\ss, da\ss \ die tiefer gelegenen Umkehrsätze, wie etwa der des {\it Abelschen} Verfahrens, zu ihrer ursprünglichen Bewältigung schwierige spezielle analytische Methoden erforderten. {\it R. Schmidt} (1925; F. d. M. 51, 182 (JFM 51.0182.*), 184) gab als erster eine umfassendere Theorie, indem er den Zusammenhang aller dieser speziellen Fragen mit einem gewissen {\it Stieltjes}schen Momentenproblem erkannte und als gemeinsamen Aus\-gangspunkt nutzbar machte. Dieze Methode versagt freilich bei dem wegen der Äquivalenz (im speziellen Falle) mit dem Primzahlsatze besonders wichtigen Umkehrsatze des {\it ``Abels}chen Verfahrens" für {\it Lambert}-Reihen. \par Die Arbeit des Verf. zeigt nun die kraftvolle Rolle, welche die harmonische Analyse, genauer die {\it Fourier}sche Transformation, in diesem Problemkreise zu spielen vermag. Viele der {\it R. Schmidts}chen Gesichtspunkte werden jetzt erst voll auswertbar, und man erhält sehr allgemeine Sätze mit durchsichtigen Beweisen, die wohl alle bisher bekannten {\it Taubers}chen Sätze einschlie\ss lich desjenigen für {\it Lambert}reihen leicht zugänglich machen. Aber auch wo man, wie z. B. beim {\it Hardy-Littlewoods}chen Umkehrsatze des {\it Abels}chen Verfahrens (1914; F. d. M. {bf 45}, 389), heute einfache spezi\-elle Beweisverfahren besitzt ({\it Karamata} 1930; F. d. M. {bf $56_I$}, 210), werden diese von dem neuen allgemeinen Standpunkte aus erst ins rechte Licht gesetzt. \par Die Arbeit ist in acht Kapitel gegliedert:\par Kap. I gibt die entscheidenden Grundlagen für die Theorie. Es handelt sich hier um die Klasse aller Translationen $f(x+\lambda )$, $\lambda $ reell, wobei $f(x)$ eine für alle reellen $x$ definierte reelle oder komplexe Funktion ist. Und zwar wird, je nachdem $f(x)$ der {\it Lebesgues}chen Klasse $L_1$ oder $L_2$ angehört, die Abgeschlossenheit jener Translationen im Funktionenraume $L_1$ oder $L_2$ untersucht. Ist nun $$g(u)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{iux}dx$$ die {\it fouriers}che Transformierte von $f(x)$, so ist notwendig und hinreichend für die Abgeschlossenheit der Translationen von $f(x)$, da\ss \^^M$g(u)$ (im Falle $L_1$) keine reellen Nullstellen bzw. (im Falle $L_2$) solche höchstens im Ma\ss e 0 besitzt. Im Hinblick auf {\it ``Stieltjes- Mittelbildungen"} wird etwas Entsprechendes noch für einen geeignet definierten {\it ``Stieltjes"}-Funktionenraum bewiesen. \par Kap. II liefert als unmittelbare Anwendungen asymptotische Eigenschaften von Mittelbildungen. \par Es sei $f(x)$ eine beschränkte me\ss bare Funktion, während der Kern $K_1(x)$ aus $L_1$ sei. Dann ist das Nichtverschwinden (im Reellen) der {\it Fouriers}chen Transformierten von $K_1(x)$ hinreichend dafür. da\ss \^^Maus $$\lim _{x\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty } f(\xi )K_1(\xi -x)d\xi = A\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_1(\xi )d\xi $$ für jeden Kern $K_2(x)$ aus $L_1$auch $$\lim _{x\to \infty } \int \limits _{-\infty }^{\infty } f(\xi )K_2(\xi -x)d\xi = A \int \limits _{-\infty }^{\infty } K_2(\xi )d\xi $$ folgt. Wenn $\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_1(\xi )d\xi \ne 0$ ist, ist dies auch notwendig. \par Es folgen entsprechende Sätze bei {\it Stieltjes}-Mittelbildungen, auch für den Fall nur einseitig beschränkter $f(x)$. \par Kap. III bringt die allgemeinen Sätze {\it Taubers}cher Art, deren wichtigster der folgende ist: $f(x)$ sei in?dem Intervall $(-\infty, A)$ von beschränkter Schwankung,\newline $f(-\infty ) =0$ und für alle $y$ $$\int \limits _{y}^{y+1}\vert df(x)\vert -f(y+1)+f(y)\leqq N. \tag *$$ $M(x)$ sei monoton fallend und stetig, $M(-\infty )=1$ und für ein $u>0$ mit $x\to \infty $ $$M(x)=O(e^{-ux}). $$ Schlie\ss lich sei die durch $$\varphi (x)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }} \int \limits _{-\infty }^{\infty } M(x)e^{xz}dx$$ in einem dewissen Streifen der rechten Halbebene definierte Funktion auf die imaginäre Achse (au\ss er $z=0$) analytisch fortsetzbar und dort von 0 verschieden. Ist dann $$\int \limits _{-\infty }^{\infty } M(\xi -x)df(\xi )$$ beschränkt und $$\lim _{x\to \infty } \int \limits _{-\infty }^{\infty } M(\xi -x)df(\xi )=B,$$ so gilt für jedes $\varepsilon >0$ $$\lim _{x\to \infty } \frac {1}{\varepsilon } \int \limits _{x}^{x+\varepsilon } f(\xi )d\xi =B. $$ Die Bedingung (*) entspricht den {\it Hardy-Littlewoods}chen Voraussetzungen beim {\it Abels}chen Umkehrsatz. Ersetzt man sie durch die {\it R. Schmidts}che Voraussetzung, da\ss \ $f(x)$ ``schwach" fallend sei, so kann auf $$\lim _{x\to \infty } f(x)=B$$ geschlossen werden. \par In Kap. IV wird zunáchst auf dem Wege über den aus den allgemeinen Sätzen folgenden {\it Taubers}chen Satz bei der {\it Lambert}-Reihe $\sum \limits _{1}^{\infty }\Lambda _n \dfrac {x^n}{1-x^n}$ ein neuer Beweis des Primzahlsatzes gegeben, bei dem von der {\it Riemanns}chen Funktion $\zeta (s)$ nur benutzt wird, da\ss \ sie für $\sigma \geqq 1$ (mit Ausnahme des Poles erster Ordnung $s=1$ mit dem Residuum 1) regulär und $\ne 0$ ist (vgl. {\it Wiener} 1928; F. d. M. 54, 241 (JFM 54.0241.*)). Es folgt sodann ein Beweis der wichtigen Verallgemeinerung von {\it Ikehara} (1931; F. d. M. $57_{\text {I}}$, 212) des in diesem Zusammenhange bekannten {\it Landau}schen Grenzwertsatzes (1907; F. d. M. 38, 295 (JFM 38.0295.*)) bei {\it Dirichlets}chen Reihen. \par Kap. V bringt weitere Anwendungen, insbesondere auf asymptotische Entwicklungen, und die Untersuchungen von {\it Hardy-Littlewood} zum {\it Young}schen Kriterium bei {\it Fourier}reihen (1928; F. d. M. 54, 302 (JFM 54.0302.*); s. a. {\it Littauer}, 1929; F. d. M. $55_{\text {II}}$, 734). \par In engem Anschlu\ss \ an die ``gestrahlten Mittelbildungen" von {\it R. Schmidt} werden in Kap. VI allgemeinere Kerne $K(x,\xi )$ bzw. $M(x,\xi )$ als bisher herangezogen und so weitere Sätze {\it Taubers}cher Art von {\it Hardy- Littlewood} und insbesondere der {\it R. Schmidts}che Umkehrsatz des {\it Borel}schen Verfahrens bewiesen. \par Kap. VII bringt einige Sätze mit Anwendungen, die Verf. als ``quasi-tauberian" bezeichnet, weil die für die Sätze {\it Taubers}cher Art charakteristischen Beschränk\-ungen für $f(x)$ unnötig sind. Es gilt z. B: $K_1(x)$ sei stetig und beschränkt, $$K_1(x)\sim A_1 e^{\lambda x},\quad A_1\ne 0,\quad \lambda >0;\quad \int \limits _{-\infty }^{\infty }\vert d(K_1(x) e^{-\lambda x})\vert <C. $$ Für die Funktion $R(z)$ seien $$\int \limits _{-\infty }^{\infty } e^{-\lambda z}\vert dR(z)\vert,\quad \int \limits _{-\infty }^{\infty } \vert dR(z)\vert $$ beschränkt, und es sei $$K_2(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_1(x-z)dR(z). $$ Ist dann $f(x)$ in jedem endlichen Intervall von beschränkter Schwankung, so folgt aus $$\lim \limits _{y\to \infty } \int \limits _{0}^{\infty } K_1 (y-x)df(x)= A\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_1(x)dx$$ auch $$\lim \limits _{y\to \infty } \int \limits _{0}^{\infty } K_2(y-x)df(x)= A\int \limits _{-\infty }^{\infty } K_2(x)dx. $$ Im letzten Kap. werden zunächst die allgemeinen asymptotischen Sätze des Kap. II auf den Fall ausgedehnt, da\ss \ der gewöhnliche limes durch einen ``sublimes" ersetzt wird. $$\underset {x\to \infty }\to {s\/lm} f(x)=A$$ soll $$\lim \limits _{B\to \infty }\frac {1}{B} \int \limits _{0}^{B} \vert f(x)-A\vert ^2 dx=0$$ bedeuten. Diese Definition steht in einer gewissen Analogie zur ``starken Konvergenz" bei Folgen. Von hier aus entwirft Verf. einen Ausblick auf eine nicht-lineare Summierungstheorie. \par Die Arbeit endet mit einem umfangreichen Literaturverzeichnis. Überhaupt wird der Leser durch vielse historische und literarische Angaben im Text über den Stand der ganzen Theorie gut unterrichtet.
(Data of JFM: JFM 58.0226.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Rogosinski, W.; Prof. (Königsberg in Preussen)]

Citations: JFM 53.0283.*; JFM 51.0182.*; JFM 54.0241.*; JFM 38.0295.*; JFM 54.0302.*

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