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JFM 57.1455.01
Lusin, N.
Sur la méthode de M. A. Krylov de composition de l'équation séculaire. (Russian)
[J] Bull. Acad. Sc. Leningrad 1931, 903-958 (1931).

Verf. verfolgt ausführlicher die von {\it Krylov\/} (s. vorstehendes Referat) gegebene Methode zur Umformung der charakteristischen Gleichung $$ \left| \matrix a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} -\lambda & \cdots & a_{2k} \\ \hdotsfor 4 \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} - \lambda \endmatrix \right| \tag 1 $$ des linearen Differentialgleichungssystems $$ q_i'=\sum_{s=1}^k a_{is}q_s \quad (i= 1,2,\ldots,k) \tag 2 $$ mit konstanten Koeffizienten. Es wird allgemeiner $$ x = aq_1+ bq_2 + \cdots + fq_k \tag 3 $$ angesetzt, worin $a$, $b$, \dots, $f$ Konstanten sind. Durch k-malige Differentiation von (3) und Ersetzung von $q_i'$ durch $\sum\limits_{s=1}^k a_{is}q_s$ gelangt Verf. zu dem System $$ x=aq_1+\cdots+fq_k, \quad x^{(i)} = a_iq_1+\cdots + f_iq_k \quad (i=1,2,\ldots,k) \tag 4 $$ mit den leicht vermittels $a$, $b$, \dots, $f_i$ und der Matrix $A =(a_{is})$ zu bildenden konstanten Koeffizienten $a_i$, $b_i$, \dots, $f_i$. Die Elimination von $q_1$, $q_2$, \dots, $q_k$ aus (4) ergibt eine Differentialgleichung für $x$: $$ \left| \matrix \format ł\quad & ł\quad & ł\quad & ł\quad & ł\\ x & a & b & \cdots & f \\ x' & a_1 & b_1 & \cdots & f_1 \\ \hdotsfor 5 \\ x^{(k)} & a_k & b_k & \cdots & f_k \\ \endmatrix \right| =0 . \tag 5 $$ Der Koeffizient $$ M=\left| \matrix \format ł\quad & ł\quad & ł\quad & ł\\ a & b & \cdots & f \\ a_1 & b_1 & \cdots & f_1 \\ \hdotsfor 4 \\ a_{k-1} & b_{k-1} & \cdots & f_{k-1} \\ \endmatrix \right| \tag 6 $$ wird ``verschiebender Faktor der Matrix $A$'' genannt. Das Verschwinden von $M$ bei einem Wertesystem für $a$, $b$, \dots, $f$ ist die notwendige und hinreichende Bedingung für das Verschwinden sämtlicher Koeffizienten von (5). Das wird gefolgert, indem durch Kontinuitätsbetrachtungen und algebraisch die Richtigkeit der Identität $$ M\left| \matrix \format ł\quad & ł\quad & ł\quad & ł\\ a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} -\lambda & \cdots & a_{2k} \\ \hdotsfor 4 \\ a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk} - \lambda \endmatrix \right|= \left| \matrix \format ł\quad & ł\quad & ł\quad & ł\quad & ł\\ 1 & a & b & \ldots & f \\ \lambda & a_1 & b_1 & \cdots & f_1 \\ \lambda^2 & a_2 & b_2 & \cdots & f_2 \\ \hdotsfor 5 \\ \lambda^k & a_k & b_k & \cdots & f_k \\ \endmatrix \right| $$ bewiesen wird. \par Weiter untersucht Verf. die Änderung des verschiebenden Faktors $M$ einer Matrix $A$, wenn man dieselbe mit der Matrix $B$ transformiert. Falls $A^* = B^{-1}AB$ ist und das Transformationsgesetz $$ \matrix \format ł& ł& ł& ł& ł\\ a^*&=b_{11}a&+ b_{21}b & + \cdots & + a_{1k}f \\ \hdotsfor 5 \\ f^*&=b_{1k}a&+ b_{2k}b & + \cdots & + b_{kk}f \\ \endmatrix \quad B=\pmatrix \format ł\quad & ł\quad & ł\quad & ł\\ b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1k} \\ \hdotsfor 4 \\ b_{k1} & b_{k2} & \cdots & b_{kk} \\ \endpmatrix $$ für die Parameter $a$, $b$, \dots, $f$ angenommen wird, findet man $M^* = M|B|$. Indem $B$ so gewählt wird, dass $A^*$ die {\it Jordan\/}sche Diagonalform hat, kommt Verf. zu dem Schlusse: Damit der verschiebende Faktor $M$ nicht identisch (d. h. für alle Werte von $a$, $b$, \dots, $f$) verschwindet, ist notwendig und hinreichend, dass die {\it Weierstrass\/}schen Elementarteiler von $A$ relativ prim zueinander sind.
(Data of JFM: JFM 57.1455.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Petkantschin, Dr. (Sofia)]

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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