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JFM 57.0230.05
van der Corput, J. G.
Diophantische Ungleichungen. I: Zur Gleichverteilung Modulo Eins. (German)
[J] Acta Math. 56, 373-456 (1931). ISSN 0001-5962; ISSN 1871-2509/e

Verf. beabsichtigt, in mehreren zusammenhängenden Arbeiten allgemeine Ungleichungssysteme in bezug auf ihre Lösbarkeit in ganzen Zahlen zu untersuchen. Der vorliegende erste Teil behandelt die von {\it H. Weyl\/} stammende Methode der Gleichverteilung mod~1. Zur Abkürzung wird hier und in den späteren Teilen folgende Bezeichnung benutzt: Sind $\alpha$ und $\beta$ zwei reelle Zahlen mit $\alpha<\beta$, so bedeuten die Ungleichungen $$ \alpha {\botsmash{{}_{\tsize{<}}}\atop\topsmash{{}^{\tsize\leqq}}} x {\botsmash{{}_{\tsize{<}}}\atop\topsmash{{}^{\tsize\leqq}}} \beta\pmod1, $$ dass es eine ganze rationale Zahl $u$ gibt, so dass beziehungsweise $\alpha{{{}_{\tsize{<}}}\atop{{{}^{\tsize\leqq}}}} x-u{{{}_{\tsize{<}}}\atop{{{}^{\tsize\leqq}}}}\beta$ ist. \par Sei F $eine$ unendliche Folge $m$-dimensionaler Quader $$ Q:\qquad\qquad a_\mu\leqq x_\mu<b_\mu\quad\qquad(\mu=1,2,\dots,m) $$ mit ganzen rationalen $a_\mu$, $b_{\mu}$ mit $a_\mu<b_\mu$ deren Inhalte $$ A(Q)=(b_1-a_1)(b_2-a_2)\cdots(b_m-a_m) $$ gegen $\infty$ streben. Jedem $Q$ seien $n$ reelle Funktionen $f_\nu(x)=f_\nu(x_1,\dots,x_m)$ ($\nu=1$, 2,\dots, $n$) zugeordnet, die in allen Gitterpunkten $x=(x_1,\dots, x_m)$ von $Q$ definiert sind. Das System der Funktionen $f_\nu(x)$ heisst gleichverteilt in den $Q$, wenn die Anzahl $A_1(Q)$ der Gitterpunkte $x$ in $Q$ mit $$ 0\leqq f_\nu(x)<\gamma_\nu\pmod1\qquad(\nu=1,2,\dots,n), \tag"\indent(1)" $$ wo $\gamma_1$,\dots, $\gamma_n$ irgend $n$ reelle positive Zahlen $< 1$ sind, der Limesgleichung $$ \frac{A_1(Q)}{A(Q)}\to\gamma_1\gamma_2\cdots\gamma_n $$ genügt, falls $Q$ durch $F$ läuft. Die Anzahl $A_2(Q)$ der Gitterpunkte $x$ in $Q$ mit $$ \alpha_\nu {\botsmash{{}_{\tsize{<}}}\atop\topsmash{{}^{\tsize\leqq}}} f_\nu(x) {\botsmash{{}_{\tsize{<}}}\atop\topsmash{{}^{\tsize\leqq}}} \beta_\nu\pmod1\qquad(\nu=1,2,\dots,n), \tag"\indent(2)" $$ wo $\alpha_\nu$ und $\beta_\nu$ ($\nu=1$, 2,\dots, $n$) reelle Zahlen mit $\alpha_\nu\leqq\beta_\nu\leqq\alpha_\nu+1$ sind, genügt alsdann der analogen Limesgleichung $$ \frac{A_2(Q)}{A(Q)}\to(\beta_1-\alpha_1)(\beta_2-\alpha_2)\cdots(\beta_n-\alpha_n). $$ \par Sei das Funktionssystem $f_\nu(x)$ gleichverteilt in den $Q$ und $\psi(v_1, v_2,\dots, v_n)$ eine in jedem Punkt $(v_1, v_2,\dots, v_n)$ definierte, von $Q$ unabhängige Funktion mit $$ \psi(v_1, v_2,\dots, v_n)=\psi(w_1, w_2,\dots, w_n) \text{ für }v_\nu\equiv w_\nu\pmod1\qquad(\nu=1,2,\dots,n). $$ Das eigentliche {\it Riemann\/}sche Integral $$ \int\limits_0^1\int\limits_0^1\cdots\int\limits_0^1\psi(v_1, v_2,\dots, v_n)\,dv_1\,dv_2\dots dv_n=J $$ existiere. Dann gilt für die über alle Gitterpunkte $x$ von $Q$ erstreckte Summe $$ \frac1{A(Q)}\sum_{x\text{\,in\,}Q}\psi(f_1(x),\dots,f_n(x))\to J, $$ wenn $Q$ durch $F$ läuft. Speziell: Es ist dann und nur dann $$ \frac1{A(Q)}\sum_{x\text{\,in\,}Q}\exp2\pi i\{h_1f_1(x)+\cdots+h_nf_n(x)\}\to 0 $$ für jeden Gitterpunkt $(h_1, h_2,\dots,h_n)\neq(0,0,\dots,0)$, wenn die $f_\nu(x)$ in den $Q$ gleichverteilt sind. Also ist das System der $n$ Funktionen $f_\nu(x)$ ($\nu=1$, 2,\dots, $n$) dann und nur dann in den $Q$ gleichverteilt, wenn für jeden Gitterpunkt $(h_1,h_2,\dots,h_n)\neq(0,0,\dots,0)$ die Funktion $h_1f_1(x)+\cdots+h_nf_n(x)$ es ist. Als Anwendung hiervon wird gezeigt: Es seien $l_\nu(x)$ ($\nu=1$,\dots, $n$) Linearformen in $x_1$,\dots, $x_m$ mit reellen Koeffizienten, derart dass die Form $h_1l_1(x)+\cdots+h_nl_n(x)$ für jeden Gitterpunkt $(h_1,\dots,h_n)\neq(0,\dots, 0)$ mindestens einen irrationalen Koeffizienten hat. Dann sind die Formen in den $Q$ gleichverteilt. \par Eine grundlegende Eigenschaft der Gleichverteilung liefert der Satz: Gibt es für jedes natürliche $h$ höchstens endlich viele $Q$ in $F$ mit $b_1-a_1\leqq h$, ist ferner für jedes solche $h$ die Funktion $$ f_h(x)=f(x_1+h,x_2,\dots,x_m)-f(x_1,x_2,\dots,x_m) $$ in der Folge der abgeleiteten Quader $$ Q_h:\quad a_1\leqq x<b_1-h,\ a_\mu\leqq x<b_\mu\qquad(\mu=2,3,\dots,m) $$ gleichverteilt, so ist es $f (x)$ in der Folge der Quader $Q$. \par Hieraus folgt: Ist $f(x)$ ein Polynom in $x_1$,\dots, $x_m$ mit mindestens einem nichtkonstanten Glied mit irrationalem Koeffizienten, und strebt jede Kante $b_\mu-a_\mu$ über alle Grenzen, wenn $Q$ durch $F$ läuft, so ist $f (x)$ in $Q$ gleichverteilt. Ein entsprechender Satz gilt für Systeme von Polynomen (Satz von {\it Weyl\/}). Man kann mit seiner Hilfe mittels einfacher zusätzlicher algebraischer Überlegungen notwendige und hinreichende Bedingungen herleiten, damit das Ungleichungssystem $$ \displaylines{\hfill \matrix \format\r&\l\\ 0<f_\lambda(x)<+\varepsilon\pmod1&\qquad(\lambda=1,2,\dots,l),\\ -\varepsilon<f_\nu(x)<+\varepsilon\pmod1&\qquad(\nu=l+1,l+2,\dots,n),\\ \endmatrix} $$ wo die $f (x)$ reelle Polynome sind, für jedes positive $\varepsilon$ unendlich viele Lösungen hat. \par Funktionen, die gleichverteilt und keine Polynome sind, werden durch folgende Resultate geliefert: (1) Sei die reelle Funktion $f (x)$ von $x_1$,\dots, $x_m$ in jedem Gitterpunkt definiert, und strebe $$ \multline \varDelta_1^{k_1}\varDelta_2^{k_2}\dots\varDelta_m^{k_m}f(x)=\\ \sum\limits_{\varkappa_1=0}^{k_1}\dots\sum\limits_{\varkappa_m=0}^{k_m} (-1)^{k_1+\cdots+k_m-\varkappa_1-\cdots-\varkappa_m} \binom{k_1}{\varkappa_1}\cdots\binom{k_m}{\varkappa_m} f(x_1+\varkappa_1,\dots,x_m+\varkappa_m), \endmultline $$ wenn alle $| x_\mu|$ unbegrenzt wachsen, gegen einen irrationalen Grenzwert. In jeder Folge von Quadern $Q$, deren Kanten $b_\mu-a_\mu$($\mu=1$, 2,\dots, $m$) alle gegen Unendlich streben, ist $f (x)$ gleichverteilt. (2) Sei jedem der Quader $Q$ ein Paar positiver Zahlen $r$, $R$ mit $r \leqq R$ und $$ (b_1-a_1)r\to\infty,\qquad R\to 0, $$ zugeordnet und $f (x)$ als reelle Funktion so in jedem Gitterpunkt von $Q$ definiert, dass die Funktion $\varDelta_1^{k_1}\varDelta_2^{k_2}\dots\varDelta_m^{k_m}f(x)$ im Quader $$ Q_k\colon\qquad\quad a_\mu\leqq x_\mu<b_\mu-k_\mu\quad(\mu=1,2,\dots,m) $$ eine monoton nicht abnehmende Funktion von $x_\mu$ ist, die in $Q_k$ beständig im Intervall $r\leqq\omega\leqq R$ oder$-R\leqq\omega\leqq-r$ liegt. Dann ist $f(x)$ in den $Q$ gleichverteilt. Diese beiden Sätze machen die Annahme, dass $k_1$, $k_2$,\dots, $k_m$ ganze rationale nicht negative Zahlen sind, $k_1$ speziell positiv. \par Die Sätze über Gleichverteilung erlauben auch allgemeinere diophantische Ungleichungen zu behandeln, die sogenannten Normalsysteme : Sei $F$ wieder eine Folge von Quadern $Q$ und jedem der $Q$ ein System von $n$ gleichverteilten Funktionen $$ f_\nu(x)=f_\nu(x_1,x_2,\dots,x_m)\qquad(\mu=1,2,\dots,n) $$ zugeordnet. Seien ferner $\alpha_\lambda$ und $\beta_\lambda$($\lambda=1$,2,\dots,$l$) $2l$ reelle Zahlen und $$ \chi_\lambda(v_1,v_2,\dots,v_n)\qquad(\lambda=1,2,\dots,l) $$ für jeden reellen Punkt $v = (v_1, v_2,\dots, v_n)$ definiert, reell und stetig. Das Ungleichungssystem $$ \displaylines{\rlap{\indent(3)}\hfill \alpha_\lambda<\chi_\lambda(f_1(x)-y_1,\dots,f_n(x)-y_n)<\beta_\lambda\quad (\lambda=1,2,\dots,l)} $$ hat dann und nur dann eine (und sogar unendlichviele) Lösung in ganzen $$ x_1,x_2,\dots,x_m,y_1,y_2,\dots,y_n, $$ wenn ein reeller Punkt $w = (w_1, w_2,\dots, w_n)$ mit $$ \alpha_\lambda<\chi_\lambda(w_1, w_2,\dots, w_n)<\beta_\lambda\qquad (\lambda=1,2,\dots,l) $$ existiert. In diesem Fall genügt die Anzahl $A_3(Q)$ der in $Q$ liegenden Gitterpunkte $x$, für die (3) bei geeigneten $y$ lösbar ist, der Gleichung $$ \frac{A_3(Q)}{A(Q)}\to J(E), $$ wenn $Q$ durch $F$ läuft; dabei ist $J (E)$ der {\it Jordan\/}sche Inhalt der Menge der Punkte $u = (u_1, u_2,\dots, u_n)$ mit $0\leqq u_\nu\leqq1$ ($\nu=1$,2,\dots,$n$) zu denen ein Gitterpunkt $z = (z_1, z_2,\dots, z_n)$ mit $$ \alpha_\lambda<\chi_\lambda(u_1-z_1,\dots,u_n-z_n)<\beta_\lambda\qquad (\lambda=1,2,\dots,l) $$ bestimmt werden kann.
(Data of JFM: JFM 57.0230.05; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Mahler, K.; Dr. (Groningen)]

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