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JFM 56.0314.02
Dixon, A. L.; Ferrar, W. L.
Infinite integrals in the theory of Bessel functions. (English)
[J] Quarterly Journ. (Oxford series) 1, 122-145 (1930).

Als Erweiterung des Abschnitts XIII der ``Theory of Bessel functions'' von {\it Watson} (F. d. M. 48, 412 (JFM 48.0412.*)) beweisen die Verf. mit Hilfe des {\it Cauchy}schen Integralsatzes viele neue und bekannte Formeln aus der Lehre von den {\it Bessel}schen Funktionen. Dabei benutzen sie ausser den üblichen Bezeichnungen die weiteren $$L_\mu\,(x)=-Y_\mu\,(x)-\frac{2}{\pi }K_\mu\,(x),\quad M_\mu\,(x)=-Y_\mu\,(x)+\frac{2}{\pi }\,K_\mu\,(x)$$ bei beliebigem $\mu$. Sie beginnen mit der Herleitung von Formeln der Art $$\displaylines{\rlap{\qquad(1)} \hfill \qquad\int\limits_{0}^{\infty } H_0^{(1)}(ax)\,h_1^{(1)}(bx)\,dx= i\int\limits_{0}^{\infty }H_0^{(1)}(axi)\,h_1^{(1)}(bxi)\,dx; \hfill}$$ die Funktionen $h_\nu^{(1)}(z)$ usw. gehen aus den {\it Hankel}schen $H_\nu^{(1)}(z)$ usw. durch Hinzufügung eines die Integration von 0 bis 1 ermöglichenden Summanden hervor. Aus Beziehungen wie (1), die die Verf. kurz als ``Vermehrung des Arguments um $\frac{1}{2}\pi $'' bezeichnen, können {\it Hardy}s Formeln gewonnen werden: $$\int\limits_{0}^{\infty }M_0\,(ax)\,L_1\,(bx)\,dx=0,\quad \int\limits_{0}^{\infty }L_1\,(ax)\,M_0\,(bx)\,dx=\frac{1}{a}, \;\;a>b>0.$$ Die Verf. wenden sich dann zu den {\it Weber-Schafheitlin}schen Integralen; sie zeigen deren Unstetigkeitseigenschaften durch die Verschiedenartigkeit der beiden Formeln für $a>b$, $a<b$, deren erste lautet: $$\gather \int\limits_{0}^{\infty }\frac{J_\mu\,(ax)\,J_\nu\,(bx)}{x^\lambda}\,dx= \frac{2}{\pi }\,\cos\,\frac{(\lambda+\mu-\nu)\,\pi }{2} \int\limits_{0}^{\infty }\frac{K_\mu\,(ax)\,I_\nu\,(bx)}{x^\lambda}\,dx;\\ R\,(\lambda)>-1,\;\;R\,(\pm\mu+\nu+1-\lambda)>0.\endgather$$ Das Integral links wertet man dadurch aus, dass man das Integral rechts nach {\it Watson} durch eine hypergeometrische Funktion ausdrückt. Die Verf. leiten ferner auf eine neue Weise die Integralformel von {\it Nicholson} her, $$\displaylines{\rlap{\qquad(2)} \hfill J_\nu^2\,(x)+Y_\nu^2\,(x)= \frac{8}{\pi ^2}\int\limits_{0}^{\infty } K_0\,(2x\,\germ{Sin}\,t)\,\germ {Cof}\,2\nu t\,dt. \hfill}$$ Dazu beweisen sie zunächst die Gleichung $$K_\mu(x)\,K_\nu(z)=2 \textstyle \int\limits_{0}^{\infty } \displaystyle K_{\mu+\nu}\,(2z\,\germ {Cof}\,t)\,\germ {Cof}\,(\mu-\nu)\,t\,dt$$ für $|\,\arg z\,|=\frac{1}{2}\pi $, $|\,R\,(\mu-\nu)\,|<\frac{3}{2}$; mit ihrer Hilfe ergibt sich, dass $$J_\mu(x)\,J_\nu(x)+Y_\mu(x)\,Y_\nu(x)= \frac{4}{\pi ^2}\int\limits_{0}^{\infty } K_{\nu-\mu}\,(2x\,\germ {Sin}\,t)\, [e^{(\mu+\nu)t}-e^{-(\mu+\nu)t}\,\cos\,(\mu-\nu) \pi ]\,dt,$$ wenn $R(x)>0$, $|\,R(\mu-\nu)\,|<1$. Hieraus folgt (2), wenn $\mu=\nu$. Zum Schlusse geben die Verf. eine Reihe umfänglicherer Beziehungen an, unter deren einfachsten Folgerungen sie die Formeln anführen: $$\align &K_\nu\,(x)\,I_\mu(x)=\textstyle \int\limits_{0}^{\infty} J_{\mu+\nu}(2x\,\germ{Sin}\,t)\,e^{(\nu-\mu)t}\,dt,\;\; \mu+\nu>-1, \nu-\mu<\tfrac{3}{2},\\ &\,K_\nu(x)\,I_\mu(x)=\textstyle \int\limits_{0}^{\infty} J_{\mu-\nu}(2x\germ{Sin}\,t)\,e^{-(\mu+\nu)t}\,dt,\;\; \mu-\nu>-1, -\mu-\nu<\tfrac{3}{2}.\endalign$$
(Data of JFM: JFM 56.0314.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Koschmieder, L.; Prof. (Brünn)]

Citations: JFM 48.0412.*

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