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JFM 56.0310.01
Mahler, K.
Über die Nullstellen der unvollständigen Gammafunktionen. (German)
[J] Rendiconti Palermo 54, 1-41 (1930). ISSN 0009-725X; ISSN 1973-4409/e

Verf. untersucht die Nullstellen der beiden unvollständigen $\varGamma$-Funktionen $$P_\lambda\,(z)=\textstyle \int\limits_{0}^{\lambda} \displaystyle e^{-t}\,t^{z-1}\,dt,\;\;\; Q_\lambda\,(z)=\textstyle \int\limits_{\lambda}^{\infty } \displaystyle e^{-t}\,t^{z-1}\,dt,$$ und zwar für komplexe $\lambda$, die in dem Winkelraum $$\displaylines{\rlap{\qquad(1)} \hfill \qquad |\,\text{arc}\,\lambda\,|\leqq \frac{\pi }{2}-\alpha,\alpha>0 \hfill}$$ gelegen sind. Das Hauptergebnis lautet: Wenn $\lambda$ auf dem in (1) gelegenen Strahl $$\displaylines{\rlap{\qquad(2)} \hfill \lambda=|\,\lambda\,|\,e^{i\varphi} \hfill}$$ ins Unendliche rückt, und wenn $\germ L$ die zu (2) in bezug auf die Achse des Reellen symmetrische, durch den Nullpunkt gehende Gerade bedeutet, so häufen sich die Nullstellen von $P_\lambda(\lambda z)$ gegen jeden Punkt desjenigen Halbstrahls von $\germ L$, der von dem Punkt $$\displaylines{\rlap{\qquad(3)} \hfill r_0\,(\varphi)\,e^{-i\varphi},\;\; r_0\log\frac{r_0}{e}=\cos\,\varphi, \hfill}$$ ausgeht und den Nullpunkt enthält, ferner gegen jeden Punkt der geschlossenen linsenförmigen Kurve, die durch die Gleichungen $$\displaylines{\rlap{\qquad(4)} \hfill \qquad \germ R\,\bigl\{(z\log z+1-z)e^{i\varphi}\bigr\}=0,\;\; \germ R\bigl\{(1-z)e^{i\varphi}\bigr\}\geqq 0 \hfill}$$ definiert ist; im Innern von (4) gilt $$\displaylines{\rlap{\qquad(5)} \hfill P_\lambda\,(\lambda z)\sim\varGamma\,(\lambda z),\;\; |\,\lambda\,|\to\infty . \hfill}$$ Die Nullstellen von $Q_\lambda(\lambda z)$ häufen sich gegen jeden Punkt der Kurve $$\displaylines{\rlap{\qquad(6)} \hfill \qquad \germ R\bigl\{(z\log z+1-z)e^{i\varphi}\bigr\}=0, \;\;\germ R\bigl\{(1-z)e^{i\varphi}\bigr\}\leqq 0\,, \hfill}$$ die eine analoge Gestalt hat wie eine {\it Neilsche} Parabel; rechts von (6) gilt $$\displaylines{\rlap{\qquad(7)} \hfill \qquad Q_\lambda\,(\lambda z)\sim\varGamma\,(\lambda z). \hfill}$$ Ferner wird für grosses positives $\lambda$ die Anzahl der nicht reellen Nullstellen von $P_\lambda\,(z)$ asymptotisch bestimmt. \par Die Beweise dieser Ergebnisse finden sich in den Kapiteln III und IV der Arbeit; Kap. I enthält einige Hilfssätze, Kap. II die Herleitung asymptotischer Formeln für $P_\lambda\,(\lambda z)$ und $Q_\lambda\,(\lambda z)$. \par Während die Arbeit gegenüber der bis Ende 1927 erschienenen Literatur über die unvollständige $\varGamma$-Funktion ({\it Bourguet} 1883, {\it Lindhagen} 1887, {\it Nielsen} 1906, {\it Haskin} 1915, {\it Gronwall} 1916, {\it Franklin} 1919, {\it Walther} 1925, {\it Rasch} 1927) einen wesentlichen Fortschritt darstellt, ist {\it G}. {\it Rasch}, wie Verf. selbst bemerkt, in einer während der Drucklegung der vorliegenden Abhandlung erschienenen Arbeit (F. d. M. 54, 388 (JFM 54.0388.*)) zu Ergebnissen gelangt, die z. T. weiterreichen.
(Data of JFM: JFM 56.0310.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Feigl, G.; Prof. (Breslau), Pietsch, H. (Berlin)]

Citations: JFM 54.0388.*

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