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JFM 56.0046.04
Gödel, K.
Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. (German)
[J] Monatshefte f. Math. 37, 349-360 (1930). ISSN 0026-9255; ISSN 1436-5081/e

Verf. überträgt {\it Bernays}' axiomatische Untersuchung des Aussagenkalküls (Axiomatische Untersuchung des Aussagen-Kalküls der ``Principia Mathematica''; M. Z. 25 (1926), 305-320; F. d. M. 52) auf den sog. engeren Funktionenkalkül (vgl. {\it Hubert-Ackermann}, 1928; F. d. M. 54, 55 (JFM 54.0055.*)). Zugrunde gelegt werden als Prämisse sechs formale Axiome, die im wesentlichen mit denen der Principia Mathematica übereinstimmen, und abgesondert davon vier Schlussregeln. Die Vollständigkeit des Axiomensystems wird in folgender Form bewiesen: Jede Formel $A$ des engeren Funktionenkalküls ist entweder im abzählbaren Individuenbereich erfüllbar, oder ihre Negation $\overline A$ ist ableitbar. Dabei wird $\overline{\overline{A}} = A$ benutzt. Den Beweis des Vollstäudigkeitssatzes führt Verf. durch vollständige Induktion: Er reduziert den allgemeinen Fall auf den gewisser Normalformen, für die er mit Hilfe der Sättigungsoperationen einen Grad definiert, der die Durchführung des Induktionsschlusses gestattet. \par Erweitert man unter Beibehaltung der Schlussregeln das Axiomensystem um den Begriff der Identität, so gilt auch für diesen weiteren Bereich der Vollständigkeitssatz. Desgleichen gilt folgende Verallgemeinerung: Jede abzählbar unendliche Menge von Formeln des engeren Funktionenkalküls ist entweder erfüllbar, oder sie besitzt ein endliches Teilsystem, dessen logisches Produkt widerlegbar ist. Der Satz folgt aus dem anfangs bewiesenen Vollständigkeitssatz durch die Reduktion darauf, dass jedes endliche Teilsystem des unendlichen Systems erfüllbar ist. \par Schliesslich wird {\it Bernays}' Unabhängigkeitsbeweis auf das erweiterte Axiomensystem ausgedehnt.
(Data of JFM: JFM 56.0046.04; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Buchhorn, Lilly; Dr. (Berlin)]

Citations: JFM 54.0055.*

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