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JFM 55.0260.01
Bochner, S.
Über Sturm-Liouvillesche Polynomsysteme. (German)
[J] M. Z. 29, 730-736 (1929). ISSN 0025-5874; ISSN 1432-1823

Ein {\it Sturm-Liouville\/}sches Polynomsystem ist eine Folge von Polynomen $$ P_0(x), \, P_1(x), \ldots, $$ wobei $P_{\nu}$ genau vom Grade $\nu$ ist, und jedes dieser Polynome für einen passenden Eigenwert $$ \lambda_0, \, \lambda_1, \ldots $$ Lösung der Differentialgleichung $$ p_0(x) y'' + p_1(x) y' + p_2(x) y + \lambda y = 0 $$ ist. Verf. stellt sich die Aufgabe, alle {\it Sturm-Liouville\/}schen Polynomsysteme zu bestimmen. \par Durch Untersuchung der niedrigsten Gradzahlen ergibt sich, dass $p_2(x)$ konstant und, wie man ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen darf, gleich Null ist. Ferner ist $p_1(x)$ linear, $p_0(x)$ quadratisch in $x$. Durch lineare Variablentransformation kommt man zu folgenden fünf Normalformen der Differentialgleichung: $$ \align (\delta + \varepsilon x) y' + \lambda y & = 0, \tag1 \\ y'' + (\delta + \varepsilon x) y' + \lambda y & = 0, \tag2 \\ x y'' + (\delta + \varepsilon x) y' + \lambda y & = 0, \tag3 \\ x^2 y'' + (\delta + \varepsilon x) y' + \lambda y & = 0, \tag4 \\ x (1-x) y'' + (\delta + \varepsilon x) y' + \lambda y & = 0. \tag5 \endalign $$ In allen diesen Fällen führt ein Ansatz der Lösung mit unbestimmten Keoffizienten, ev. nach weiterer linearer Transformation, zu zweigliedrigen Rekursionsformeln für die Koeffizienten, so dass man entscheiden kann, ob für gegebene Eigenwerte $\lambda_{\nu}$ Polynomlösungen $P_{\nu}$ existieren. \par Für (1) ist $\lambda_n = - n, \, P_n(x) = x^n$; (2) führt auf {\it Hermite\/}sche, (3) auf {\it Laguerre\/}sche und verallgemeinerte {\it Laguerre\/}sche Polynome. (4) liefert für $\delta = 0$, abgesehen von gewissen Ausnahmefällen, nur die Potenzen von $x$, für $\delta \neq 0$ Polynome der Form $$ P_n^{(k)}(x) = \sum\limits_{\varrho = 0}^{n} \varrho ! {n \choose \varrho} {-n -k \choose \varrho } x^{\varrho}; $$ die Lösung von (5) lasst sich, abgesehen von speziellen Ausnahmefällen, die nicht näher untersucht werden, auf (4) zurückführen. (IV 6 A.)
(Data of JFM: JFM 55.0260.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Pannwitz, Dr. Erika (Berlin)]

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