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JFM 55.0115.01
Mahler, K.
Arithmetische Eigenschaften der Lösungen einer Klasse von Funktionalgleichungen. (German)
[J] Math. Ann. 101, 342-366 (1929). ISSN 0025-5831; ISSN 1432-1807/e

Verf. beweist insbesondere den folgenden Satz: Man habe eine Matrix $$ \varOmega = (o_{\alpha\beta})\qquad (\alpha, \beta =1, 2, \ldots, n) $$ mit ganzen rationalen, nicht negativen Elementen; $$ \varOmega^k =\bigl(o^{(k)}_{\alpha\beta}\bigr) $$ sei ihre $k$-te Potenz. Die charakteristische Gleichung von $\varOmega$: $$ \varPhi (\varrho) = |\varOmega-\varrho E|=0 $$ sei im Rationalen irreduzibel und habe eine Wurzel $\varrho_1$ die grösser als Eins und grösser als die absoluten Beträge der übrigen Wurzeln ist. In der Matrix $\varOmega-\varrho_1E$ seien $A^{(1)}_{1\beta}$ die adjungierten Unterdeterminanten der Elemente der ersten Zeile. Man habe ferner $n$ komplexe Veränderliche $z = (z_1,\ldots, z_n)$ und bezeichne die Transformation $$ z_\alpha' =\prod _{\beta=1}^n z_\beta^{o^{(k)}_{\alpha\beta}} \qquad (\alpha = 1, 2, \ldots, n) $$ mit $z' = \varOmega ^kz$. Die Koeffizienten $A_{h_1\ldots h_n}$ der in der Umgebung des Nullpunktes konvergenten Reihe $$ S(z) = \sum _{h_1=0}^\infty \cdots \sum ^\infty_{h_n=0} A_{h_1\ldots h_n}z_1^{h_1}\cdots z_n^{h_n} $$ mögen einem endlichen algebraischen Körper angehören; die durch diese Reihe dargestellte Funktion sei nicht algebraisch. $S(z)$ genüge der Funktionalgleichung $$ S(\varOmega z)=\dfrac{\sum\limits_{l=0}^m a_l(z)S^l(z)}{\sum\limits_{l=0}^mb_l(z)S^l(z)}; $$ darin sei $m$ eine natürliche Zahl $< \varrho_1$, und es seien $a_l(z)$ und $b_l(z) \ (l = 0, 1, \ldots, m)$ Polynome in den $z_\alpha$ mit algebraischen Koeffizienten derart, dass die Polynome $$ \sum_{l=0}^m a_l(z)u^l, \quad \sum^m_{l=0}b_l(z)u^l $$ in den $z_{\alpha}$ und $u$ teilerfremd seien, und dass mindestens eins von ihnen in $u$ genau vom Grade $m$ sei. $\varDelta(z)$ bezeichne die Resultante dieser beiden Polynome. Dann ist für jedes System $z$ mit algebraischen $z_\alpha$ der Wert von $S(z)$ transzendent, wenn folgende drei Voraussetzungen erfüllt sind: $$ \germ R\biggl\{\sum_{\beta=1}^n\bigl |A_{1\beta}^{(1)}\bigr| \log z_\beta \biggr\}<0, \tag1 $$ $$ z_1z_2\cdots z_n\ne 0,\tag2 $$ $$ \varDelta (\varOmega ^k z)\ne 0 \qquad (k\geqq 0, \ \text{ganz}).\tag3 $$ \par Bei einem Funktionentyp mit gewissen Eigenschaften in der Form von Funktionalgleichungen folgt also, abgesehen von gewissen Ausnahmepunkten, aus der funktionentheoretischen Transzendenz die Transzendenz der Funktionswerte an algebraischen Stellen. Verf. zeigt, dass die Voraussetzung (1) aus Regularitätsgründen in der Natur der Sache liegt. (IV 4.)
(Data of JFM: JFM 55.0115.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Müller, Studienassessor K. (Fürstenwalde)]

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