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JFM 54.0290.04
Caccioppoli, R.
Sulle coppie di funzioni a variazione limitata. (Italian)
[J] Rendiconti Napoli (3) 34, 83-88 (1928).

Verf. nimmt die folgenden, von ihm früher (1927; F. d. M. 53, 214 (JFM 53.0214.*)-215) aufgestellten Definitionen als Ausgangspunkt an.\par Ein Funktionenpaar: $$ (1)\quad x=\varphi(u,v),\ y=\psi(u,v), $$ welches auf einem dreieckigen Netze definiert und in jedem Dreieck linear ist, hei\ss\ t ``fastlinear''; seine ``Totalschwankung'' ist die Summe der Inhalte der in der $xy$-Ebene den Dreiecken des Netzes entsprechenden Dreiecke. Man sagt ferner ein auf einer beliebigen Punktmenge $I$ der $uv$-Ebene definiertes Funktionenpaar $\varphi(u,v)$, $\psi(u,v)$ sei ``von beschränkter Schwankung'', wenn der kleinste Grenzwert der Totalschwankung derjenigen Funktionenpaare endlich ist, die $\varphi,\psi)$ als Grenze haben, wenn die bezüglichen Netze nach $I$ streben. Die ``Totalschwankung'' von $(\varphi,\psi)$ ist der Inhalt des bezüglichen ebenen Bereiches (1).\par Hier unterscheidet Verf. die ``positive'' und die ``negative Schwankung'' je nach dem die einander entsprechenden Dreiecke der $uv$- und der $xy$-Ebene gleiche oder entgegengesetzte Orientierung haben; die algebraische Summe beider Schwankungen ist die ``Schwankung'' schlechtweg. Die Schwankung eines auf einer Punktmenge $I$ gegebenen Funktionenpaares wird analog definiert.\par Die Totalschwankung $V(I)$ und die Schwankung $W(I)$ sind additive Funktionen.\par Man schreibt: $$ \frac{dV}{dI}=\left\vert \frac{\partial(\varphi,\psi)}{\partial(u,v)} \right\vert,\ \frac{dW}{dI}=\frac{\partial(\varphi,\psi)}{\partial(u,v)}; $$ dieser letzte Ausdruck wird als die ``Ableitung'' des Funktionenpaares'' $(\varphi,\psi)$ bezeichnet, und geht in die Funktionaldeterminante von $\varphi$ und $\psi$ über, wenn beide Funktionen stetige Ableitungen besitzen. Der ``Totalinhalt'' des Bereiches (1) und der ``Inhalt'' des ``orientierten'' Bereiches (1) sind die über $I$ erstreckten Doppelintegrale von $\frac{dV}{dI}$ und $\frac{dW}{dI}$.\par Den Schlu\ss\ der Note bilden einige Bemerkungen über verwandte Untersuchungen von {\it S. Banach} (Fundamente 6 (1924), 170-188; 7 (1925), 225-236. F. d. M. 56, 185; 51).
(Data of JFM: JFM 54.0290.04; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Vivanti, G.; Prof. (Mailand)]

Citations: JFM 53.0214.*

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