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JFM 54.0090.06
Sperner, E.
Ein Satz über Untermengen einer endlichen Menge. (German)
[J] M. Z. 27, 544-548 (1928). ISSN 0025-5874; ISSN 1432-1823/e

Verf. beschäftigt sich mit den Untermengen einer endlichen Menge $\frak M$ von $n$ Elementen. Von zwei Untermengen $\frak A$ und $\frak B$ der Menge $\frak M$ hei\ss t $\frak A$ Teilmenge von $\frak B$ und $\frak B$ Obermenge von $\frak A$, wenn alle Elemente von $\frak A$ in $\frak B$ vorkommen. Ein System $\Sigma$ von Untermengen hei\ss t ausgezeichnet, wenn keine der in $\Sigma$ vorkommenden Untermengen Teilmenge einer anderen solchen ist. Die Anzahl der Elemente einer Untermenge von $\frak M$ nennt Verf. ihre Ordnung; die Anzahl der in einem System von Untermengen von $\frak M$ enthaltenen Untermengen hei\ss t sein Grad. Verf. beweist den folgenden Satz: Der Grad eines ausgezeichneten Systems $\Sigma$ von Untermengen der gegebenen Menge $\frak M$ ist stets $\leqq {n \choose \left[ \matrix n \\ 2 \endmatrix \right]}$; das Gleichheitszeichen gilt bei geradem $n$ dann und nur dann, wenn $\Sigma$ aus sämtlichen Untermengen der Ordnung $\frac n2$ besteht, bei ungeradem $n$ dann und nur dann, wenn $\Sigma$ aus sämtlichen Untermengen der Ordnung $\frac{n+1}{2}$ oder aus sämtlichen Untermengen der Ordnung besteht.\par Der Beweis operiert mit dem folgenden Hilfssatz: $m$ voneinander verschiedene Untermengen $k$-ter Ordnung der Menge $\frak M$ besitzen wenigstens $m+1$ voneinander verschiedene Teilmengen der Ordnung $k-1$, wenn $k>\frac{n+1}{2}$ ist. (III 2.)
(Data of JFM: JFM 54.0090.06; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Feigl, G.; Dr. (Berlin)]

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