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The Heaviside operational calculus. (English) JFM 53.0380.01

Carson (vgl. z. B. Bulletin A. M. S. 32 (1926), 43-68; F. d. M. 62) hat gezeigt, daß die symbolisch nach Heaviside in der Form \(h (t) = \dfrac{1}{H(p)}\) erhaltene Lösung einer Differentialgleichung folgender Integralgleichung genügt: \[ \frac{1}{pH(p)} = \int_0^\infty h(t) e^{-pt}\, dt, \] woraus sich die Heavisideschen Gesetze ergeben. Bromwich (Proceedings L. M. S. (2) 15 (1916), 401-448; F. d. M. 46, 1181 (JFM 46.1181.*)) und Wagner (Arch. f. Elektrotechnik 4 (1916), 159-193) stellten die Lösung der Differentialgleichung als komplexes Integral dar: \[ h(t) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_C \frac{e^{pt}}{pH(p)} \, dp, \] wo \(C\) die Pole von \(\dfrac{1}{pH(p)}\) umschließt, oder \[ h(t) = \frac{1}{2\pi i} \int\limits_{c - i\infty}^{c+i\infty} \frac{e^{pt}}{pH(p)} \,dp \] und leiteten hieraus die Heavisideschen Gesetze ab. Der Zusammenhang zwischen diesen Untersuchungen besteht nun darin, daß vermöge des Fourierschen Integraltheorems das komplexe Integral die Lösung der Carsonschen Integralgleichung ist (unter gewissen Voraussetzungen). Aus der Darstellung von \(h(t)\) als Integral lassen sich die drei Heavisideschen Gesetze herleiten und Gültigkeitsgrenzen für dieselben angeben:
1. Kann \(C\) als Kreis um den Nullpunkt angesehen werden, und ist \[ \frac{1}{H(p)} = a_0 + \frac{a_1}{p} + \frac{a_2}{p^2} + \cdots, \] so ergibt sich die Heavisidesche Potenzreihenlösung: \[ h(t) = a_0 + a_1t + \frac{a_2 t^2}{2!} + \cdots. \]
2. Ist \(H (p)\) eine rationale Funktion mit \(n\) verschiedenen Nullstellen \(p_j \neq 0\), so ergibt sich durch Residuenrechnung das Heavisidesche Entwicklungstheorem: \[ h(t) = \frac{1}{H(0)} + \sum_{j=1}^n \frac{e^{p_j t}}{p_j H^\prime (p_j)}. \]
3. Ist \[ \frac{1}{H(p)} = a_0 + a_1 p + a_2 p^2 + \cdots + (b_0 + b_1 p + b_2 p^2 + \cdots) p^{1/2}, \] und kann für \(C\) ein an der negativen reellen Achse entlang laufender, den Nullpunkt umkreisender und wieder nach \(-\infty\) zurücklaufender Weg genommen werden, so ergibt sich unter gewissen Konvergenzvoraussetzungen die Heavisidesche asymptotische Lösung: \[ h(t) = a_0 + \frac{1}{(\pi t)^{1/2}}\left(b_0 - b_1\frac{1}{2t} + b_2\frac{1\cdot 3}{(2t)^2} - b_3\frac{1\cdot 3\cdot 5}{(2t)^3} + \cdots\right). \] An einem Beispiel wird gezeigt, wie man dem komplexen Integral ansehen kann, wann die asymptotische Entwicklung nicht anwendbar ist.

Citations:

JFM 46.1181.*
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