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JFM 53.0339.04
Goldstein, S.
Mathieu functions. (English)
[J] Transactions Cambridge 23, 303-336 (1927).

Ausführliche Darstellung der neuerdings vor allem in England vielfach bearbeiteten Theorie der periodischen Lösungen der Mathieuschen Differentialgleichung, die hier in der Form angenommen ist: $$y''+(4\alpha-16q\cos 2x)y=0.$$ Doch scheint mir auch in dieser Arbeit die theoretische Abrundung gegenüber der Ausbildung rechnerischer, insbesondere numerischer Methoden noch etwas zurückzustehen. Der Gang der Entwicklungen ist, abschnittweise verfolgt, etwa dieser: (1) bringt zunächst die Definitionen, und zwar mit einer neuen Normierung der willkürlichen Faktoren durch die Festsetzung $${\ssize\frac{1}{2}}\textstyle\int\limits_0^{2\pi} ce_0^2(x,q)\,dx-\int\limits_0^{2\pi} ce_n^2(x,q)\,dx= \int\limits_0^{2\pi}se_n^2(x,q)\,dx=\pi\quad\;(n=1,2,\dots).$$ Bei der bisher üblichen Forderung, dass der Koeffizient von $\cos nx$ bzw. $\sin nx$ in der Fourierreihe gleich Eins sei, wird nämlich für gewisse Werte von $q$ die Bestimmung der andern Koeffizienten illusorisch, während bei der neuen Festsetzung dann lediglich das betreffende Glied herausfällt. -- (2) Nach Transformation zu $\mu=cos x$ als unabhängiger Veränderlicher wird die transzendente Gleichung zwischen $\alpha$ und $q$ in Kettenbruchform aus der Bedingung gewonnen, dass die zugehörige Lösung eine ganze Funktion von $\mu$ ist, oder es nach Division mit $\sqrt{1-\mu^2}$ wird. -- (3) bringt Reihenentwicklungen der Gestalt $$\textstyle\sum\limits_n\displaystyle C_nJ_n\binom{k\,\cos x}{k\,\sin x},\qquad k^2=32q$$ nach Besselschen Funktionen (für den einfachsten Fall schon von Heine). Die $C_n$ erweisen sich als im wesentlichen proportional zu den Fourier-Koeffizienten, und diese Tatsache führt zu einer einfachen Bestätigung der Whittaker-Pooleschen Integralgleichungen. -- (4) ist der numerischen Berechnung der charakteristischen Zahlen und der zugehörigen Entwicklungskoeffizienten gewidmet. Es werden fünfstellige Tafeln für diese mitgeteilt, und zwar für $ce_0$, $ce_1$, $ce_2$, $se_1$, $se_2$, und $37$ Werte von $q$ zwischen 0 und 200. \par In (5) werden mit Hilfe der Laplaceschen Transformation asymptotische Entwicklungen für die assoziierten Funktionen $\frac{1}{i}\,se(ix)$ und $ce(ix)$ (und die zugehörigen zweiten Lösungen) für $x\to\infty$ hergeleitet. -- (6) gibt asymptotische Entwicklungen für grosse $q$; diese sind direkt für die eigentlichen Mathieuschen Funktionen aufgestellt (ohne den Inceschen Umweg über die Funktionen der Periode $4\pi$; siehe das folgende Referat, insbesondere die Bemerkung auf S. 300 jener Arbeit). Hieraus folgen auch Näherungswerte für die grossen Nullstellen der assoziierten Funktionen, diese in Abhängigkeit von $q$ (bei festem $x$) betrachtet. In (7) werden die zweiten, nichtperiodischen Lösungen kurz betrachtet; es wird gezeigt, dass sie von der Form $xf(x)+g(x)$ sind wobei $f(x)$ eine Mathieusche Funktion und $g(x)$ wenigstens periodisch ist. (8) enthält Anwendungen, insbesondere auf Schwingungen einer elliptischen Membran und Gezeiten in einem elliptischen See, mit physikalischen Entwickelbarkeits ``beweisen''.
(Data of JFM: JFM 53.0339.04; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Schmidt, Hermann; Dr. (Jena)]

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