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JFM 53.0214.02
Caccioppoli, R.
Sulle quadratura delle superficie piane e curve. (Italian)
[J] Rendiconti Accad. d. L. Roma (6) 6, 142-146 (1927). ISSN 0001-4435

Unter Einführung des Begriffes der ``absoluten Ableitung'' einer Abbildung $X = \varphi(x,y)$, $Y= \psi(x,y)$, die mit $\left|\dfrac{\partial(\varphi,\psi)}{\partial(x,y)}\right|$ bezeichnet wird und die im wesentlichen eine Verallgemeinerung der Jacobischen Determinante ist, aber ihre Bedeutung nicht zu verlieren braucht, wenn die partiellen Ableitungen erster Ordnung von $\varphi$ und $\psi$ nicht mehr existieren, gelangt der Verf. für den Flächeninhalt area $S$ einer ebenen Fläche $S$, die mittels der Funktionen $\varphi$ und $\psi$ durch Abbildung eines ebenen Bereiches $J$ erzeugt wird, zu der Ungleichung $$ \operatorname{area} S\geqq\iint\limits_J \left|\dfrac{\partial(\varphi,\psi)}{\partial(x,y)}\right| dxdy, $$ in der das Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn der Betrag des Integranden gleich Eins und die Abbildung totalstetig ist. \par Ist eine räumliche Fläche $S$ durch die Gleichungen $$ x=\varphi(u,v),\quad y=\psi(u,v),\quad z=\chi(u,v) $$ gegeben, so gelangt man zu der Ungleichung $$ \operatorname{area} S\geqq\iint\limits_J \sqrt{ \left|\dfrac{\partial(\psi,\chi)}{\partial(u,v)}\right|^2+ \left|\dfrac{\partial(\chi,\varphi)}{\partial(u,v)}\right|^2+ \left|\dfrac{\partial(\varphi,\psi)}{\partial(u,v)}\right|^2 }dudv, $$ wobei das Gleichheitszeichen nur dann gilt, wenn die drei Abbildungen $(\psi,\chi)$, $(\chi,\varphi)$, $(\varphi,\psi)$ totalstetig sind. \par Die Betrachtungen lassen sich auf $n$ Dimensionen und $n$ Veränderliche verallgemeinern.
(Data of JFM: JFM 53.0214.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Falckenberg, H.; Prof. (Giessen)]

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