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The Heaviside operational calculus. (English) JFM 52.0418.01

Heaviside hat einen auf symbolischen Methoden beruhenden Kalkül angegeben, um lineare gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen zu lösen und die Lösungen in Reihen zu entwickeln. Ist z. B. das System von linearen Differentialgleichungen mit den unbekannten Funktionen \(h_i\) gegeben: \[ \begin{matrix} a_{11}h_1+a_{12}h_2 + \cdots + a_{1n}h_n=f_1(t),\\ \cdots \\ a_{n1}h_1+a_{n2}h_2 + \cdots + a_{nn}h_n=f_n(t), \end{matrix} \] wo die \(a_{jk}\) lineare Differentialoperatoren sind: \[ a_{jk}=\alpha_{jk}+\beta_{jk}\frac d{dt}+\gamma_{jk}\frac{d^2}{dt^2}+ \cdots \quad (\alpha, \beta, \gamma, \ldots \;\text{Konstante}), \] so genügt es bekanntlich (Anmerkung des Ref: vgl. hierzu auch Murnaghan, 1927; F. d. M. 53, 407 (JFM 53.0407.*)), das System mit \(f_1 = 1\), \(f_2 = \cdots = f_n = 0\) zu lösen. Heaviside ersetzt die Operation \(\dfrac{d^n}{dt^n}\) durch das Symbol \(p^n\), wodurch das System algebraisch wird; für die Lösungen erhält man so die symbolische Form \(h_i = \dfrac 1{H_i(p)}\). Verf. zeigt, daß \(h_i\) sich auch als Lösung einer Integralgleichung \[ \frac 1{pH_i(p)}=\int\limits_0^\infty h_i(t)e^{-pt}\,dt, \] in der dieselbe Funktion \(H_i(p)\) vorkommt, auffassen läßt, wodurch die Heavisideschen Entwicklungen sich effektiv, nicht bloß symbolisch, herleiten lassen. (Anmerkung des Ref: Vgl. übrigens die von Bernstein und Doetsch angegebene Methode (1925; F. d. M. 51, 365), nach der dieses Resultat unmittelbar folgt; \(h_i\) ist die “Oberfunktion” zu \(\dfrac 1{pH_i(p)}\), oder umgekehrt: \(\dfrac 1{pH_i(p)}\) ist die “Unterfunktion” oder Laplace-Transformierte zu \(h_i(t)\). Ist z. B. asymptotisch \[ \frac 1{H(p)} \sim \sum_0^\infty \frac{a_n}{p^n}, \] so erhält man \[ h(t)=\sum_0^\infty a_n\frac{t^n}{n!}. \] Dies ist eines der Heavisideschen Entwicklungsgesetze. (Anmerkung des Ref: Vgl. den Zusammenhang mit der Borelschen Summabilität.) Ferner ergibt sich aus der Integralgleichung die von Heaviside ohne Beweis gegebene Lösung \[ h(t)=\frac 1{H(0)}+\sum \frac{e^{p_jt}}{p_jH'(p_j)}, \] wo die \(p_j\) die Wurzeln der Gleichung \(H(p) = 0\) sind. (Anmerkung des Ref: Vgl. auch hierzu Murnaghan l. c.) – Analoge Betrachtungen gelten für partielle Differentialgleichungen, wie im Beispiel der Telegraphengleichung gezeigt wird. Ersetzt man hier die Differentiation nach \(t\) durch das Symbol \(p\), so bleibt nur die Differentiation nach der andere Variablen \(x\) übrig, d. h. eine gewöhnliche Differentialgleichung. Deren Lösung enthält noch das Symbol \(p\), und man kann genau wie vorhin diese symbolische Lösung wieder durch eine Integralgleichung ersetzen (was jedoch nicht ausreichend begründet wird), aus der sich die effektive Lösung, Reihenentwicklung usw. ablesen lassen. – Verf. gibt ferner von der Integralgleichung aus Herleitungen für die bekannten Heavisideschen asymptotischen Entwicklungen in den Fällen \[ h=\frac 1{H(p)}=\sqrt p\,F(p) \] und \[ h=\frac 1{H(p)}=\varphi (\sqrt p), \] wo \(F\) und \(\varphi\) ganze Funktionen sind, die Beweise sind jedoch nach seiner eigenen Angabe nicht zureichend. Diese asymptotischen Entwicklungen werden an einigen Beispielen aus der Kabeltelegraphie durchgeführt. (Bemerkung des Ref: Vgl. zu dieser Arbeit insbesondere die nachstehend besprochene, sowie die von T. v. Stachó (1927; F. d. M. 53, 378) und die von H. W. March (1927; F. d. M. 53, 380)). (IV 9.)

Citations:

JFM 53.0407.*
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