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JFM 52.0342.03
Wirtinger, W.
Zur formalen Theorie der Funktionen von mehr komplexen Veränderlichen. (German)
[J] Math. Ann. 97, 357-375 (1926). ISSN 0025-5831; ISSN 1432-1807/e

Das Ziel der Arbeit besteht darin, die Funktionen von $n$ komplexen Veränderlichen auf Mannigfaltigkeiten $M_m$ von $m$ Dimensionen ($m>n$) des $2n$-dimensionalen Raumes, ausgehend von den partiellen Differentialgleichungen, zu charakterisieren. Setzt man $$\frac{\partial }{\partial z_\gamma}=\frac{1}{2}\, \biggl(\frac{\partial }{\partial x_{2\gamma-1}} i\,\frac{\partial }{\partial x_{2\gamma}}\biggr)\quad \text{und}\quad \frac{\partial }{\partial \bar z_\gamma}= \frac{1}{2}\,\biggl(\frac{\partial }{\partial x_{2\gamma-1}}+ i\,\frac{\partial }{\partial x_{2\gamma}}\biggr)\,,$$ so lauten die {\it Cauchy-Riemann}schen Differentialgleichungen $$\frac{\partial \varPhi}{\partial \bar z_\gamma}=0,\quad \frac{\partial \overline\varPhi}{\partial z_\gamma}=0.$$ Verf. beweist nun, ausgehend von diesen Gleichungen, einen bekannten Satz von {\it Levi-Civita} (1905; F. d. M. 36, 482 (JFM 36.0482.*)), dass auf $M_n$ in $R_{2n}$ eine analytische Funktion $F$ willkürlich vorgegeben werden kann, wenn man sich auf eine genügend kleine Umgebung beschränkt und sowohl die Koordinaten der $M_n$, wie auch die auf ihr vorgeschriebenen Werte von $F$ als reguläre Funktionen von $n$ reellen Parametern gegeben werden. Ausgenommen werden dabei die ``charakteristischen'' analytischen Mannigfaltigkeiten. \par Nunmehr geht Verf. auf die Frage nach den Differentialgleichungen ein, welche für eine in Parameterdarstellung gegebene $M_{2n-1}$ in $R_{2n}$ erfüllt sein müssen, damit auf ihr der reelle Teil einer analytischen Funktion verschwindet. Ist $U$ dieser Realteil, so muss er sich in der Form $U=\varPhi\,(z_\alpha)+\varPsi\,(\bar z_\alpha)$ darstellen lassen; sowohl $d\varPhi=\dfrac{\partial U}{\partial z_\alpha}\,dz_\alpha$ wie $d\varPsi=\dfrac{\partial U}{\partial z_\alpha}\,d\bar z_\alpha$ sind vollständige Differentiale. Drückt man nun $z_\alpha$ und $\overline{z}_\gamma$ durch die Koordinaten $t_\lambda$ aus, durch welche $M_{2n-1}$ in Parameterdarstellung $z_\alpha=z_\alpha\,(t_1,\dots ,t_{2n-1})$, $\overline{z}_\gamma=\overline{z}_\gamma\,(t_1,\dots ,t_{2n-1})$ gegeben ist, so folgen aus der Tatsache, dass die genannten Ausdrücke vollständige Differentiale sind, für $U$ gewisse partielle Differentialgleichungen. Im Falle, dass $n=2$ und $M_3$ in der Form $\varphi\,(x_1,x_2,x_3,x_4)=0$ gegeben ist, erhält man $\germ C(\varphi)=0$, wo $$\germ C(\varphi)=-16\vmatrix \format\c&\;\c&\;\c\\ 0&\dfrac{\partial \varphi}{\partial z_1}&\dfrac{\partial \varphi}{\partial z_2}\\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}_1}& \dfrac{\partial ^2\varphi}{\partial z_1\,\partial \overline{z}_1}& \dfrac{\partial ^2\,\varphi}{\partial z_2\partial \overline{z}_1}\\ \dfrac{\partial \varphi}{\partial \overline{z}_2}& \dfrac{\partial ^2\,\varphi}{\partial z_1\,\partial \overline{z}_2}& \dfrac{\partial ^2\,\varphi}{\partial z_2\,\partial \overline{z}_2} \endvmatrix$$ der {\it Levi}sche Ausdruck ist (1910; F. d. M. 41, 487 (JFM 41.0487.*)-489). $\germ C(\varphi)$ ist gegenüber pseudokonformen Abbildungen eine Integralinvariante; eine analoge Integralinvariante gibt Verf. für den Fall von $n$ Veränderlichen an. \par Ist nun $\varPhi$ der Realteil einer analytischen Funktion, der auf der Mannigfaltigkeit $M_m:z_\gamma=z_\gamma(t_1,\dots,t_m)$ $(\gamma=1,2,\dots,n)$ betrachtet wird, so ist die Bedingung dafür, dass $\varPhi$ als Funktion der $z_\gamma$ allein (und damit $\overline{\varPhi}$ als Funktion der $\overline{z}_\gamma$) dargestellt werden kann, die, dass die Determinanten der Matrix $$\Vmatrix \dfrac{\partial \varPhi}{\partial t_\lambda}\\ \dfrac{\partial z_\gamma}{\partial t_\lambda}\endVmatrix$$ und ebenso die der konjugierten verschwinden. Man erhält auf diesem Wege ein vollständiges System vom $m-n$ partiellen Differentialgleichungen (und damit auch das konjugierte System), welche die Funktionen von $n$ komplexen Veränderlichen, die auf $M_m$ gegeben sind, definieren. \par Um -- ähnlich wie {\it Riemann} -- die Funktionen unabhängig von ihrer Ausdrucksweise zu definieren, will Verf. die Funktionen als Lösungen von Extremumaufgaben darstellen. Das einfachste Integral, das gegenüber einer konformen Transformation invariant bleibt, nämlich $\displaystyle\int \frac{\partial f}{\partial z}\frac{\partial \overline{f}}{\partial \overline{z}}\,dz\,d\overline{z}$, stimmt im Wesentlichen mit dem von {\it Riemann} zugrunde gelegten Integral überein. Die {\it Euler-Lagrange}schen Gleichungen lauten $$\frac{\partial ^2\,f}{\partial z\,\partial \overline{z}}=0 \;\;\text{und}\;\;\frac{\partial ^2\,\overline{f}}{\partial z\,\partial \overline{z}}=0,$$ d. h. $f$ ist eine analytische Funktion von $z$. Verlangt man dann, dass die Funktion gewisse Unstetigkeits- und Randbedingungen erfüllt, so ist $\dfrac{\partial f}{\partial z}$ und $\displaystyle\int _0^z \frac{df}{\partial z}\,dz$ dz eine analytische Funktion, die zum ursprünglichen Problem in engster Beziehung steht. Man kann nun, ausgehend von weiteren Integralinvarianten, denselben Weg einschlagen bzw. einen entsprechenden Ansatz für den Fall von mehreren Veränderlichen benutzen, um ähnlich wie {\it Riemann} gewisse Funktionen zu definieren. Die Untersuchmungen sind aber viel schwieriger als im Falle einer Veränderlichen, und Verf. geht auf diese Fragen nicht näher ein.
(Data of JFM: JFM 52.0342.03; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Bergmann, S.; Prof. (Tomsk)]

Citations: JFM 36.0482.*; JFM 41.0487.*

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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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