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JFM 51.0148.01
Hardy, G. H.; Littlewood, J. E.
Some problems of ``Partitio Numerorum'' (VI): Further Researches in Waring's Problem. (English)
[J] M. Z. 23, 1-37 (1925); Auszug in Proceedings L. M. S. (2) 23, XX-XXI (1925). ISSN 0025-5874; ISSN 1432-1823/e

Die Abhandlung setzt die Untersuchungen der Verf. in I (F. d. M. 47, 114 (JFM 47.0114.*)-115), II (F. d. M. 48, 142 (JFM 48.0142.*)) und IV (F. d. M. 48, 146 (JFM 48.0146.*)-448) unter Ausnutzung der Methode von V (F. d. M. 49, 127 (JFM 49.0127.*)) fort: Wieder wird Warings Problem der Zerlegung in eine feste Anzahl $k$-ter Potenzen von nichtnegativen ganzen Zahlen angegriffen, aber anstelle der Zerlegungszahl selbst zunächst ihr (quadratischer) Mittelwert bestimmt. Und diese Methode trägt ein gutes Stück weiter als die bisherigen. Es ergibt sich, dass ``fast alle'' natürlichen Zahlen Summen von $(\frac 12k-1)2^{k-1}+3$ nichtnegativen $k$-ten Potenzen sind, für $k = 3$ und $k \geqq 5$; für $k = 4$ ergibt sich die Zerlegungsanzahl 15, und das ist die ``wahre'' Zahl. Weiterhin sind alle grossen ganzen Zahlen Summen von $$ (\frac 12 k-1)2^{k-1}+k+5+\left[\frac{(k-2)\log 2-\log k + \log(k-2)}{\log k \log (k-1)}\right] $$ nichtnegativen $k$-ten Potenzen (z. B. also 19 Biquadraten). Der letzte Teil der Arbeit untersucht die Auswirkung einer unbewiesenen Hypothese: dass nämlich die Anzahl der Zerlegungen von $n$ in $k$ nichtnegative $k$-te Potenzen $0(n^{\varepsilon})$ für jedes positive $\varepsilon$ sei. Die Richtigkeit dieses Satzes würde die schärfsten Folgen für das Waringsche Problem haben; die Mindestzahl von $k$-ten Potenzen, die für die Zerlegung fast aller ganzen Zahlen ausreichen würde, liesse sich dann genau bestimmen; und alle grossen ganzen Zahlen wären Summen von $2k + 1$ nichtnegativen $k$-ten Potenzen, wenn $k$ keine Potenz von 2 ist, und in diesem Restfall wenigstens Summen von $4k$ Potenzen.
(Data of JFM: JFM 51.0148.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Grandjot, K. M.; Prof. (Santiago (Chile))]

Citations: JFM 47.0114.*; JFM 48.0142.*; JFM 48.0146.*; JFM 49.0127.*

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