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JFM 50.0078.04
Nielsen, J.
Die Isomorphismengruppe der freien Gruppen. (German)
[J] Math. Ann. 91, 169-209 (1924). ISSN 0025-5831; ISSN 1432-1807/e

Es sei $F_n$ eine durch $n$ Elemente, zwischen denen keine Relation besteht, erzeugte Gruppe. Der Zweck der Arbeit ist es, die Gruppe $\Gamma_n$ der Automorphismen von $F_n$ durch erzeugende Elemente und definierende Relationen darzustellen. Aus einer früheren Abhandlung des Verf. (F. d. M. 46, 175 (JFM 46.0175.*), 1918) ergibt sich, da\ss\ $\Gamma_n$ durch 4 Elemente $P, Q, O, U$ erzeugt werden kann. Dabei erzeugen $P, Q$ eine Untergruppe $\Sigma_n$ von $\Gamma_n$, welche zur symmetrischen Gruppe $n$-ten Grades isomorph ist; und $P, Q, O$ erzeugen eine Gruppe $\Omega_n$, welche zu der ``durch Vorzeichenwechsel erweiterten symmetrischen Gruppe'' isomorph ist. Der Verf. schreibt nun eine grö\ss ere Anzahl von Relationen zwischen $P, Q, O, U$ hin, die aus der Bedeutung der Elemente als Automorphismen von $F_n$ folgen. Es wird nachgewiesen, da\ss\ dieses System $S$ von Relationen zur Definition von $\varGamma_n$ ausreicht. Dazu wird zunächst gezeigt, da\ss\ zwei in $S$ enthaltene Teilsysteme zur Definition von $\sum_n$ und $\Omega_n$ ausreichen. Sodann wird für $S$ und $\Gamma_n$ selbst der Nachweis dadurch erbracht, da\ss\ die Potenzprodukte der $P, Q, O, U$ mittels des Relationssystems $S$ in ``Normalformen'' übergeführt werden, deren Definition auf Grund der Bedeutung der Elemente als Automorphismen von $F_n$ erfolgt und so eingerichtet ist, da\ss\ dem Einheitselement von $\Gamma_n$ im wesentlichen nur eine Normalform entspricht. Die Überführung in die Normalform, bei der viele Fallunterscheidungen notwendig werden, erfolgt mit Hilfe des Dehnschen Gruppenbildes. -- Ob die für $\Sigma_n,\Omega_n,\Gamma_n$ aufgestellten Relationensysteme noch vereinfacht werden können, wird nicht untersucht.
(Data of JFM: JFM 50.0078.04; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Prüfer, Dr. (Münster in Westfalen)]

Citations: JFM 46.0175.*

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	Scientific prize winners of the ICM 2010
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	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

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