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JFM 48.1368.01
Luzin, N.
(Lusin, N.)
Das Integral und die trigonometrische Reihe. (Russian)
[J] Moskva, Mat. Sborn. 30, 1-242 (1916).

Die im Jahre 1915 unter dem Titel ``Das Integral und die trigonometrische Reihe" herausgegebene Dissertation des Verf.s hatte den Zweck, die möglichen Grenzen der Weiterbildung der beiden Begriffe des Integrals und der trigonometrischen Fourierreihe zu bestimmen und dabei diejenigen Probleme klar hervortreten zu lassen, welche die erwähnte Entwicklung fördern. Unter Benutzung der allgemeinen Methoden, welche die Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen zu jener Zeit besass, definiert der Verf. viele neue Begriffe und wirft eine Menge neuer Fragen auf, welche zum Teil erst in neuerer Zeit vollständig gelöst worden sind. Indem das besprochene Werk nur einen Teil der aufgeworfenen Fragen beantwortet, wurde es also zum Ausgangspunkte weiterer Untersuchungen verschiedener Autoren. \par In Kap.~I weist der Verf. hin auf die Bildung einer messbaren Menge als Summe einer abzählbaren Menge perfekter Mengen und einer komplementären Menge vom Masse Null. Daneben wird die Bildung einer beliebigen Funktion erwähnt, welche vom Verf. im Jahre 1912 gefunden war (C. R. 154, 1688 Sur les propriétés des fonctions mesurables): jede messbare Funktion ist bezüglich einer perfekten Menge $P$ stetig, deren Mass sich beliebig wenig von dem Masse desjenigen Intervalles unterscheidet, auf welchem die Funktion $f(x)$ gegeben ist. Diese Eigenschaft der messbaren Funktionen nennt er ``$C$-Eigenschaft" (Kontinuitäts-Eigenschaft). \par Im Kap.~II löst der Verf. das Problem der Auffindung der Primitiven zu einer beliebigen messbaren Funktion, indem er folgenden Satz beweist: für jede messbare Funktion $f(x)$ gibt es eine stetige Funktion $F(x)$, welche $f(x)$ fast überall (presque partout) zur Ableitung hat. Unter Benutzung dieses Satzes und der Untersuchungen von Fatou (Acta Math. 30) und L.~Lichtenstein (J. für Math. 141) löst der Verf. das Dirichletsche Problem für die Kreislinie, auf welcher eine beliebige messbare Funktion $f(\theta)$ gegeben ist: er bildet das Poissonsche Integral für die Primitive $F(\theta)$ $$ P(\varrho,\theta)=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}F(\alpha) \frac{1-\varrho^2}{1+\varrho^2-2\varrho\cos(\alpha-\theta)}\,d\alpha $$ und erhält durch Differentiieren desselben nach $\theta$ eine harmonische Funktion, welche sich im Inneren der Kreislinie ($\varrho=1$) regulär verhält und bei Annäherung an den Rand auf nichtberührenden Wegen fast überall (presque partout) die Werte der gegebenen Funktion $f(\theta)$ annimmt. \par Im Kap.~III fragt der Verf., welche Nebenbedingungen der primitiven Funktion $F(x)$ auferlegt werden müssten, damit sie zum unbestimmten Integrale im Sinne von Lebesgue bzw. Denjoy, der $f(x)$ würde, vorausgesetzt, dass dieselbe summierbar bzw. totalisierbar (sommable, totalisable) ist. Der Verf. stellt die notwendigen und hinreichenden Bedingungen für die Integrale von Lebesgue bzw. Denjoy auf. Später wurden diese Bedingungen in einer Schrift von Denjoy analysiert (Ann. de l'Éc. Norm. 1916, Mémoire sur la totalisation). \par Im Kap.~IV behandelt der Verf. das Problem, aus der Gesamtheit aller Primitiven eine Funktion auszuwählen, deren Eigenschaften es erlauben, sie als ``unbestimmtes Integral" zu bezeichnen. Das bestimmte Integral liesse sich dann als die Differenz von zwei Werten des unbestimmten definieren. Der Verf. definiert die ``N-Eigenschaft" einer stetigen Funktion als die Eigenschaft, auf jeder Menge vom Masse Null eine Menge von Werten vom Masse Null zu haben (Null-Eigenschaft), und stellt das Problem der Existenz der Ableitungen solcher Funktionen auf. Die erwähnte Eigenschaft fand später Anwendung in den Schriften von Banach, Frl. Bari, Men{\u\i}šov, Saks und Zareckij über absolutstetige Funktionen und ihre Iterationen. \par Im Kap.~V studiert der Verf. die den summierbaren Funktionen konjugierten Funktionen. Mit Benutzung der Untersuchungen von L.~Lichtenstein und P.~Fatou löst er das Problem der Bestimmung der Konjugierten direkt aus den Werten der gegebenen Funktion, wenn dieselbe ein integrierbares Quadrat hat: $$ g(x)=\lim_{\varepsilon=0}\frac1{2\pi}\int_\varepsilon^\pi \frac{f(x+\alpha)-f(x-\alpha)}{\operatorname{tg}\dfrac\alpha2}\,d\alpha. $$ \par Im Kap.~VI stellt der Verf. das Problem der Bestimmung der Koeffizienten der trigonometrischen Reihe, deren Summe in {\it jedem\/} Punkte bekannt ist. Später wurde dieses Problem von Denjoy mittels eines besonderen, von ihm ``totalisation à deux degrés" (C. R. 17 mai 1921) genannten Grenzprozesses gelöst. Das Problem der Bestimmung der Koeffizienten einer trigonometrischen Reihe, welche nur ``fast überall" (presque partout) konvergiert, kann bis jetzt als ungelöst betrachtet werden. Diese Betrachtungen bringt der Verf. in Verbindung mit der trigonometrischen Definition der unbestimmten Integrale durch gliedweise Integration einer gegebenen trigonometrischen Reihe.
(Data of JFM: JFM 48.1368.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Luzin, N. (Mathematische Gesellschaft in Leningrad)]

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