×

Properties of the solutions of certain functional differential equations. (English) JFM 48.0534.01

Verf. betrachtet reelle lineare funktionale Differentialgleichungen von der Form \[ 0=y^{(n)}(x)+ \sum _{\nu =1}^n p_\nu (x)y^{(n-\nu )}(x) + r(x)y[\varPhi (x)], \] wo \(p_\nu \), \(r\) und \(\varPhi \) stetig und \(|\varPhi (x)-c|\leqq |x-c|\) für ein \(c\) des Definitionsbereiches. Schrittweise Näherung führt zum Existenz- und Eindeutigkeitssatz für eine Lösung mit gegebenen Anfangswerten in \(c\). Es gibt in der Nachbarschaft von \(x=c\) genau \(r\) linear unabhängige Lösungen.
Im 2. Teil der Arbeit handelt es sich um die Verteilung der Nullstellen der Lösungen speziell von \(y^{(n)}(x) + p(x) y^{(n-1)}(x) + r(x)y(k-x) = 0\). Verf. beweist unter anderem: Für \(n =2l\) besitzt eine in genügend kleiner Nachbarschaft von \(x = \dfrac {k}{2}(n - 1)\)-mal verschwindende Lösung keine weiteren Nullstellen im Definitionsbereich. Wesentliche Verschärfungen ergeben sich für \(n = 2\). Umfaßt der Definitionsbereich speziell alle (reellen) \(x\) und ist \(p(x) = 0\), \(r(x)>h =\) konst. \(>0\) für große \(|x|\), so besitzt für \(n=2l+1\) jede Lösung, unbegrenzt viele Zeichenwechsel, für \(n=2l\) entweder eine ungerade Anzahl oder unendlich viele Zeichenwechsel. (Vgl. American M. S. Trans. 19, 351, 1918; ferner, für \(n = 1\), F. Schürer, Preisschrift, Teubner 1919, F. d. M. 47, 424 (JFM 47.0424.*).)

Citations:

JFM 47.0424.*
PDFBibTeX XMLCite
Full Text: DOI