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JFM 48.0150.02
Ramanujan, Srinivasa
(Ramanujan, S. \dag)
Congruence properties of partitions. (English)
[J] Lond. M. S. Proc. (2) 18, XIX-XX (1920); Math. Zeitschr. 9, 147-153 (1921) (1920,1921). ISSN 0024-6115; ISSN 1460-244X/e

Die vorliegende, aus dem Nachlass des früh Verstorbenen durch G. H. Hardy herausgegebene und mit Bemerkungen versehene Arbeit beschäftigt sich mit Kongruenzeigenschaften der Koeffizienten der Potenzreihe $$ 1 + p(1)x + p(2)x^2 + \cdots = \frac{1}{(1-x)(1-x^2)(1-x^3) \cdots}. $$ Bezeichnet $\sigma_a(n)$ die Summe der $\alpha$-ten Potenzen sämtlicher Teiler von $n$, so gilt: $$ \gather p(n - 1) - p(n - 26) - p(n - 51) + p(n -126) + p(n -176) \\ - p(n - 301) - \cdots \equiv n\sigma_1(n) \ \ (\text{mod. } 5); \\ p(n - 2) - p(n - 51) - p(n -100) + p(n - 247) + p(n - 345) \\ - p(n - 590) - \cdots \equiv n^2 \sigma_1(n) - n \sigma_3(n) \ \ (\text{mod. } 7); \\ p(n - 5) - p(n -126) - p(n - 247) + p(n - 610) + p(n - 852) \\ - p(n -1457) - \cdots \equiv -n^4 \sigma_1(n) + 3 n^3 \sigma_3(n) + \\ + 3n^2 \sigma_5(n) - 5n \sigma_7(n) \ \ (\text{mod. } 11). \endgather $$ Hierbei ergeben sich die linkerhand (in dem Argument von $p$) auftretenden Zahlen aus $$ \matrix\format ł& ł\\ \frac 12 (5n-1)(15 n -2), & \frac 12 (5n+1)(15 n +2), \\ \frac 12 (7n-1)(21 n -4), & \frac 12 (7n+1)(21 n +4), \\ \frac 12 (11n-2)(33 n -5), & \frac 12 (11n+2)(33 n +5), \endmatrix $$ für $n = 0, 1, 2, \dots $. (Für $n = 0$ ist 1, 2, bzw. 5 nur einmal zu behalten.) Man erhält so u. a. die Kongruenzen $$ \matrix p(5 m - 1) \equiv 0 \quad (\text{mod. } 5), \\ p(7 m - 2) \equiv 0 \quad (\text{mod. } 7), \\ p(11m - 5) \equiv 0 \quad (\text{mod. } 11). \endmatrix $$ Für diese letzte Kongruenz wird noch ein direkter Beweis mitgeteilt.
(Data of JFM: JFM 48.0150.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Szegö, Prof. (Königsberg i. Pr.)]

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