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JFM 47.0612.01
Grace, J. H.
Tetrahedra in relation to spheres and quadrics. (English)
[J] Lond. M. S. Proc. (2) 17, 259-271 (1919). ISSN 0024-6115; ISSN 1460-244X/e

Es wird gefragt nach den Beziehungen zwischen den ein- und umbeschriebenen Kugeln eines Tetraeders. Genauer: sind zwei Kugeln $S, S'$ gegeben, welches sind die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür, da\ss\ reelle Tetraeder existieren, die zugleich $S$ ein- und $S'$ umbeschrieben sind? Die Kugelsätze erscheinen als besondere Fälle von allgemeineren Sätzen über Flächen zweiten Grades $S, S'.$ Liegen die Ecken eines Tetraeders auf einer $S$ und berühren seine Seitenflächen $\pi$ eine $S',$ und denkt man sich eine der $\pi$ gegeben, so liegt die Gegenecke auf einem gewissen ebenen Schnitte $\pi'$ von $S,$ und wenn $\pi$ variiert, so umhüllt $\pi'$ eine $F_2$ durch die Schnittkurve von $S$ und $S'.$ \par Nach solchen allgemeinen Sätzen über $F_2$ tritt die Spezialisierung auf Kugeln ein, und es wird die Realität der zugehörigen Tetraeder eingehend untersucht. Liegen die Ecken auf einer Kugel $S$ und berühren die Seitenflächen eine Kugel $S',$ so ist das Tetraeder reell in drei Fällen: $(\alpha) S$ schlie\ss t $S'$ ein, mit der Bedingung $(R - r)^2 \geqq 4r^2 + d^2; (\beta) S$ und $S'$ liegen getrennt; $(\gamma) S$ und $S'$ schneiden sich in einem reellen Kreise, mit der Bedingung $(R + r)^2 \geqq 4r^2 +d^2.$ Für zwei konzentrische Kugeln treten Vereinfachungen ein.
(Data of JFM: JFM 47.0612.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Meyer, Prof. (Königsberg in Preussen)]

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