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I connessi bilineari alternati di coppie di rette. (Italian) JFM 47.0573.01

Bedeuten \(p_r\) und \(q_s\) die homogenen Koordinaten zweier Geraden, so stellt die Gleichung \[ (1)\quad \sum c_{rs}p_rq_s =0 \;(r, s = 1, 2, \dots, 6) \] einen “bilinearen Konnex von Geradenpaaren” dar, welcher jeder Geraden des Raumes die \(\infty^3\) Geraden eines linearen Komplexes entsprechen läßt. Der Konnex kann “involutorisch” sein, sowohl wenn die bilineare Form (1) symmetrisch ist \((c_{rs} =c_{sr}),\) wie auch wenn sie alterniert \((c_{rs} +c_{sr} =0).\) Eben dieser zweite Fall wird in der vorliegenden Abhandlung eingehend betrachtet. Es kann dann die Konnexgleichung, wie folgt, geschrieben werden: \[ \Phi =\sum a_{rs}(p_rq_s-p_sq_r) =0, \] wo jetzt die Summe mir 15 Glieder enthält; daraus folgt, daßder Konnex von 14 Konstanten abhängt. Im allgemeinen ist die Determinante \(| a_{rs}|\neq 0;\) wenn sie aber gleich Null ist, so ist ihr Rang entweder 4 oder 2, und der Konnex heißt “zerfallend” oder “singulär”, bzw. I. oder II. Art. Man nennt eine Geradenmannigfaltigkeit “total” in bezug auf den Konnex, wenn je zwei ihrer Geraden konjugiert sind in bezug auf den Konnex. Es gibt i. a. vier totale Punkte und ebensoviele totale Ebenen, welche ein Tetraeder \(S\) bilden. Wählt man \(S\) als Fundamentaltetraeder eines Koordinatensystems, so nimmt die Gleichung des Konnexes folgende einfache Form an: \[ \Phi\equiv a(p_{12}q_{34}-p_{34}q_{12}) + b(p_{13}q_{42}- p_{42}q_{13}) + c(p_{14}q_{23}-p_{23}q_{14}) = 0. \] Eine Gerade heißt “speziell” in bezug auf den Konnex, wenn der entsprechende lineare Komplex speziell ist. Sowohl die speziellen Geraden, als die Achse der entsprechenden Komplexe bilden einen quadratischen Komplex. Diese Komplexe \(T\) und \(U\) lauten, wenn \(S\) als Fundamentaltetraeder angenommen wird: \[ a^2p_{12}p_{34} +b^2p_{13}p_{42} +c^2p_{14}p_{23} =0,\;\frac{p_{12}p_{34}}{a^2} + \frac{p_{13}p_{42}}{b^2} + \frac{p_{14}p_{23}}{c^2} =0; \] daraus folgt, daß\(T\) und \(U\) beide tetraedrale Komplexe sind in bezug auf \(S\) als singuläre Fläche. Mit der Betrachtung des Konnexes (1) eng verbunden ist diejenige des Konnexes \(\Psi\) mit der Gleichung: \[ \Psi = \frac 1a(p_{12}q_{34}-p_{34}q_{12}) + \frac 1b(p_{13}q_{42}-p_{42}q_{13}) + \frac 1c(p_{14}q_{23}- p_{23}q_{14}) =0. \] Von hier aus wird der Verf. zu einem kubischen Nullsystem geführt, welches Gleichungen folgender Form hat \[ x_i\xi_i =e_i\;(i =1,2,3,4)\text{ mit }e_1 +e_2 +e_3 +e_4 =0. \] Ferner finden sich die Bestimmung der totalen Regelscharen sowie einige Erzeugungsmethoden der alternierenden Konnexe und zuletzt zahlreiche Bemerkungen über die zerfallenden Konnexe I. Art. (V 5 E.)

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References:

[1] Nella memoria diC. L. E. Moore andH. B. Phillips,The Dyadics which occur in a Point Space of three Dimensions [Proceedings of the American Academy of Arts and Sciences, vol. 53 (1918), p. 389–438], si trova al n14 (pp. 419–425) un rapido cenno dei connessi bilineari di coppie di rette: in particolare di quelli simmetrici e alternati. Ma non vi son risolte le questioni che qui saranno trattate. · doi:10.2307/25129995
[2] V. L. Kronecker,Über die congruenten Transformationen der bilinearen Formen [Monatsberichte d. k. Akad. Berlin 1874, pp. 397–447 (= Werke, 1, pp. 421–483)]; ed anche i lavori geometrici citati inR. Sturm,Die Lehre von den geometrischen Verwandtschaften, Bd. 3 (Leipzig, 1909), p. 99. Nella Memoria citata in 2) si trova un’allusione a ciò che ora diciamo.
[3] V. i ni 25 e 26 della mia Memoria:Sulle corrispondenze quadrilineari tra, forme di 1 a specie,e su alcune loro rappresentazioni spaziali, in corso di stampa nel vol. 29 degli Annali di Matematica.
[4] V. la Memoria:Sulla geometria delle schiere rigate, o regoli, e in particolare sui complssi lineari di tali enti [Annali di Matematica serie III, t. XXVII (1918), pp. 151–181]. · JFM 46.1023.02
[5] Cfr. loc. cit. in 15).
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