Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

JFM 45.0397.02
Pincherle, S.
Sulle serie di fattoriali generalizzate. (Italian)
[J] Palermo Rend. 37, 379-390 (1914). ISSN 0009-725X; ISSN 1973-4409/e

Es handelt sich um die beiden Reihentypen $$(1)\quad \sum_nc_n(x-a_1)(x-a_2)\cdots(x-a_n)$$ $$(2)\quad \sum_n \frac{c_n}{(x-a_0)(x-a_1)\cdots(x-a_n)},$$ die für $a_n\equiv 0$ die Potenzreihen, für $a_n\equiv n$ die Binomialkoeffizienten- bzw. Fakultätenreihen liefern, und die schon früher von {\it Frobenius} (1871), {\it Bendixson} (1886), {\it Landau} (1906) und {\it Schnee} (1908) nach mehreren Richtungen untersucht worden sind. Dabei waren die Voraussetzungen über die $a_n$ verschieden; insbesondere sollten die $a_n$ entweder einen endlichen Grenzwert haben oder in bestimmter Weise gegen $\infty$ streben. \par In dieser letzten Beziehung geht nun {\it Pincherle} über die älteren Arbeiten erheblich hinaus und beweist zunächst den folgenden Satz: \par ``Die $a_n$ mögen alle in dem Winkelraum liegen, dessen Scheitel in 0 liegt und dessen Schenkel die Richtungen $\pm\varphi,\ 0<\varphi<\frac{\pi}{2}$, haben, und in der Weise gegen $\infty$ streben, dass $\varSigma \vert\frac{1}{a_n}\vert$ divergiert aber $\varSigma \vert\frac{1}{a_n}\vert^2$ konvergiert. \par Ist dann die Reihe $(b)$ für einen bestimmten Wert $x$ konvergent, so konvergiert sie auch für alle Punkte der Ebene, die $\neq a_n$ sind und die in dem nach links geöffneten Winkel liegen, dessen Scheitel in $x$ liegt und dessen Schenkel zu denen des vorhin genannten Winkels senkrecht stehen.'' \par Ein zweiter Satz deckt einen Zusammenhang zwischen der Reihe $(b)$ und einer {\it Dirichlet}schen Reihe auf, -- ganz ähnlich demjenigen, dem {\it Landau} zwischen gewöhnlichen Fakultätenreihen und {\it Dirichlet}schen Reihen aufgedeckt hat: \par ``Die beiden Reihen $$\sigma(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\ \frac{a_0a_1\cdots a_n\cdot c_n}{(x- a_0)(x-a_1)\cdots(x-a_n)}\ {\text{und}}\ \tau(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1}c_ne^{s_nx}.$$ bei denen $s_n=\frac{1}{a_0}+\frac{1}{a_1}+\cdots+\frac{1}{a_n}$ ist, konvergieren und divergieren (abgesehen von den Punkten $a_n$) stets gleichzeitig.'' \par Weitere Bemerkungen beziehen sich auf die absolute Konvergenz und auf die asymptotische Entwicklung der dargestellten Funktion.
(Data of JFM: JFM 45.0397.02; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Knopp, K.; Prof. (Königsberg)]

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article Journal

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]