Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

JFM 45.0387.03
Hardy, G. H.; Riesz, M.
The general theory of {\it Dirichlet}'s series. (English)
[J] Cambridge University Press (1915).

Nachdem die beiden Verf. in Kapitel I die notwendigen Definitionen vorausgeschickt haben, beweisen sie in Kapitel II die bekannten elementaren Sätze über die Existenz der Halbebenen bedingter und absoluter Konvergenz allgemeiner {\it Dirichlet}scher Reihen $\sum_{n=0}^{\infty}a_ne^{- \lambda_ns}$ und im Kapitel III nach der {\it Perron}schen Methode die Formel für die Darstellung der Koeffizientensumme einer {\it Dirichlet}schen Reihe durch ein bestimmtes Integral. \par Das Hauptinteresse gewinnt das kurze, aber inhaltsreiche und anregende Buch durch die ausführliche Auseinandersetzung der {\it Riesz}schen Theorie der Summation {\it Dirichlet}scher Reihen durch typische Mittel. Kapitel IV und V enthalten die Definition der typischen Mittel und die fundamentalen Sätze über Summation beliebiger unendlicher Reihen durch typische Mittel, die {\it Riesz} bereits in drei Noten der C. R. vom Jahre 1909 veröffentlicht hat (vgl. F. d. M. {\it 40}, 314, 1909). In den beiden folgenden Kapiteln werden die {\it Riesz}schen Summationsmethoden auf die {\it Dirichlet}schen Reihen angewandt und erweisen sich als zeckmässige Verallgemeinerung der {\it Cesàro}schen Mittelbildungen, die {\it Bohr} bei den {\it Dirichlet}schen Reihen des speziellen Typus $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{a_n}{n^s}$ untersucht hat. Über die {\it Bohr}schen Resultate ist bereits in den F. d. M. {\it 40}, 313, 1909 ausführlich berichtet worden. Die in diesem Referat unter den Nummern 1. bis 8. angeführten Resultate werden in den Kapiteln VI und VII sämtlich auf die Summation allgemeiner {\it Dirichlet}scher Reihen durch typische Mittel sinngemäss übertragen. Besonderes Interesse verdienen ferner einige, allerdings ohne Beweis angegebenen Sätze des Kapitels VI, die eine bekannte, auf {\it Tauber} zurückgehende Problemstellung bei Potenzreihen für die {\it Dirichlet}sche Reihen behandeln; es werden hier auch die wichtigen {\it Hardy-Littlewood}schen Verschärfungen des {\it Tauber}schen Satzes berücksichtigt. Siehe F. d. M. {\it 42}, 276, 1911; {\it 43}, 312, 1912; {\it 44}, 283, 1913. Das Kapitel VII enthält auch den {\it Bohr}schen Satz über die Halbebene gleichmässiger Konvergenz {\it Dirichlet}scher Reihen (vgl. F. d. M. {\it 44}, 307, 1913) und einige Verallgemeinerungen dieses Satzes über die gleichmässige Konvergenz der typischen Mittel. \par Das letzte Kapitel beschäftigt sich mit der Multiplikation {\it Dirichlet}scher Reihen. Auch hier führt die Methode der typischen Mittel zu schönen Resultaten, die sich in den Sätzen formulieren lassen: \par Ist die Reihe $f(s)$ für $s=s_0$ absolut konvergent und ist $g(s)$ für $s=s_0$ durch typische Mittel von der Ordnung $\alpha$ summierbar, so ist ihr {\it Dirichlet}sches Produkt $f(s_0)g(s_0)$ von der Ordnung $\alpha$ summierbar. \par Wird von $f(s)$ nur vorausgesetzt, dass es für $s=s_0$ durch typische Mittel von der Ordnung $\beta$ summierbar ist, so ist das {\it Dirichlet}sche Produkt $f(s_0)g(s_0)$ durch typische Mittel von der Ordnung $\alpha+\beta+1$ summierbar. \par Bei vielen für die Theorie der {\it Dirichlet}schen Reihen grundlegenden Sätzen, so z. B. bei dem sogenannten {\it Schnee-Landau}schen Satz, bei dem {\it Landau}schen Satz über Multiplikation, konnte auf das {\it Landau}sche Handbuch (vgl. F. d. M. {\it 40}, 232, 1909) verwiesen werden, das die diesbezüglichen Beweise bereits in mustergültigen Darstellungen enthält.
(Data of JFM: JFM 45.0387.03; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Hamburger, H.; Prof. (Berlin)]

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Article

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]