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JFM 42.0490.01
Whitehead, C. S.
On a generalization of the functions $\text{ber} x, \text{bei} x, \text{ker} x, \text{kei} x$. (English)
[J] Quart. J. 42, 316-342 (1911). ISSN 1549-6724

Die hier behandelten Funktionen sind nichts anderes als die {\it Bessel}schen Funktionen mit dem Argument $i \sqrt{i}x$ und zwar ist, wenn man $i \sqrt{i}=\alpha$ setzt: $$ \text{ber}_\tau x+i\,\text{bei}_\tau x=I_\tau(\alpha x), $$ $$ \text{ker}_\tau x+i\,\text{kei}_\tau x=I_\tau(\alpha x)+iY_r(\alpha x);$$ die Bezeichnung für die {\it Bessel}sche Funktion zweiter Art $Y_\tau$ ist dabei die des {\it Nielsen}schen Handbuchs. \par Für die so definierten Funktionen wird eine grö\ss ere Reihe von Formeln aus bekannten Formeln der {\it Bessel}schen Funktionen hergeleitet; insbesondere Reihen nach steigenden Potenzen von $x$ für die Funktionen selbst und gewisse Verbindungen derselben, z.B. $\text{ber}_\tau x\,\text{bei}_\tau' x-\text{bei}_\tau x\,\text{ber}_\tau' x$; ferner Reihen nach fallenden Potenzen und Näherungsformeln für gro\ss e Werte des Arguments. Auch gewisse Integralformeln, die {\it Bessel}sche Funktionen enthalten, lassen sich auf die in Rede stehenden Funktionen übertragen. \par Bemerkt werden mag, da\ss\ die Funktionen $\text{ber}$ und $\text{bei}$ für den Index $r=0$ zuerst von Lord {\it Kelvin} benutzt sind. Die entsprechenden Funktionen zweiter Art hat {\it Russell} in den Proceedings of the Physical Society, vol. 21, 1909, behandelt. Er nennt sie $\text{ker}$ und $\text{kei}$. Die Funktionen $\text{ker}$ und $\text{kei}$ sind mit $\frac 12 i \pi \text{ker}_0$, und $\frac 12 i\pi \text{kei}_0$ identisch. Die Verallgemeinerung des Verf. besteht in der Einführung beliebiger Indizes $r$.
(Data of JFM: JFM 42.0490.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Wangerin, Prof. (Halle a. S.)]

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