Simple Search

Query:

Enter a query and click »Search«...

Format:

Display: entries per page entries

JFM 41.0487.01
Levi, E. E.
Studii sui punti singolari essenziali delle funzioni analitiche di due o più variabili complesse. (Italian)
[J] Annali di Mat. (3) 17, 61-87 (1910). ISSN 0373-3114; ISSN 1618-1891/e

Für die singulären Punkte der analytischen Funktionen von mehr als einer Veränderlichen hatte {\it Hartogs} eine Reihe bemerkenswerter Sätze aufgestellt (F. d. M. 36, 483, 1905, JFM 36.0483.01, JFM 36.0483.02; 37, 443-444, 1906, JFM 37.0443.01; 40, 472, 1909, JFM 40.0472.01). Dem Verf. ist es gelungen, auf diesem Gebiete erhebliche Fortschritte zu machen. Um darüber zu berichten, empfiehlt es sich, zwei Benennungen einzuführen, die auch für andere Zwecke nützlich sein werden. \par Die Stellen, wo sich eine eindeutige analytische Funktion $f (z_1, z_2, \dots , z_n)$ regulär verhält, bilden in dem euklidischen Raume $E_{2n}$, der zur Darstellung der Wertsysteme $z_1, z_2, \dots , z_n$ dient, einen zusammenhängenden $2n$-fach ausgedehnten Bereich, der als ``Regularitätsbereich'' von $f$ bezeichnet werde. Dieser Bereich $R_{2n}$ ist notwendig begrenzt. Die Punkte der Begrenzung heissen die singulären Punkte der Funktion, und man unterscheidet zwischen ausserwesentlich und wesentlich singulären Punkten, je nachdem sich $f$ in der Umgebung eines solchen Punktes $a_1, a_2, \dots ,a_n$ als Quotient zweier gewöhnlichen Potenzreihen von $z_1 - a_1, z_2 - a_2, \dots , z_n - a_n$ darstellen lässt oder nicht. Durch Hinzunahme der ausserwesentlich singulären Punkte zum Regularitätsbereich entsteht ein $2n$-fach ausgedehnter Bereich, in dem sich die Funktion $f$ überall wie eine rationale Funktion verhält; er möge als ``Meromorphiebereich'' $M_{2n}$ bezeichnet werden. Falls die rationalen Funktionen ausgeschlossen werden, ist auch der Meromorphiebereich notwendig begrenzt (Satz von {\it Weierstrass} bewiesen von {\it Hurwitz}, F. d. M. 15, 321, 1883). \par Der Einfachheit halber soll im folgenden immer nur von Funktionen der zwei unabhängigen Veränderlichen $x, y$ gesprochen werden; die Betrachtungen lassen sich jedoch ohne Schwierigkeit auf Funktionen von $n$ Veränderlichen ausdehnen. \par Zunächst wird der bemerkenswerte Satz bewiesen: Damit eine Funktion $f (x, y)$, die sich in einem Gebiete $$\vert x\vert \leqq \delta ,\ k_1 \geqq \vert y\vert \geqq k_2$$ regulär verhält, in dem Gebiete $$\vert x\vert \leqq \delta ,\ \vert y\vert \leqq k_1$$ meromorph ist, müssen in der {\it Laurent}schen Entwicklung $$f(x,y) = \sum^{+\infty}_{-\infty} g_n(x)y^n$$ die Koeffizienten $g_n(x)$ so beschaffen sein, dass es eine endliche Anzahl $l+1$ von analytischen Funktionen $A_0 (x), A_1 (x), \dots , A_l (x)$ gibt, für die identisch die Gleichungen bestehen: $$A_0(x)g_{n-l}(x)+A_1(x)g_{n-l+1}(x)+ \cdots +A_l(x)g_n(x)=0,$$ wenn $n$ irgendeine negative ganze Zahl bedeutet, Null ausgeschlossen. Diese Bedingung ist notwendig und hinreichend. \par Hieraus folgt der Satz: Wenn die eindeutige analytische Funktion $f (x,y)$ im Punkte $(0, 0)$ eine wesentliche Singularität besitzt, aber für die Punkte einer gewissen Umgebung $x = 0,\ \vert y\vert \leqq k$ dieses Punktes sich meromorph verhält, so lässt sich immer, wenn eine beliebig kleine Zahl $\varepsilon$ vorgegeben ist, eine solche Zahl $\delta$ finden, dass in jeder Ebene $x = x_0$, wo $\vert x_0\vert < \delta$ ist, wenigstens ein wesentlich singulärer Punkt mit einem $\vert y\vert \leqq \varepsilon$ existiert. Während man also früher nur wusste, dass die Gesamtheit der wesentlich und ausserwesentlich singulären Punkte von $f (x, y)$ zusammengenommen eine perfekte Menge bildet, gilt dies auch für die Menge der wesentlich singulären Punkte. \par Der soeben ausgesprochene Satz lässt sich dadurch erweitern, dass an die Stelle der Ebenen $x= x_0$ eine reguläre analytische Familie ``charakteristischer'' Flächen tritt; nach dem Vorgange von {\it Levi-Civita} (F. d. M. 36, 482, 1905) werden unter charakteristischen Flächen des $E_4$ solche zweifach ausgedehnten Mannigfaltigkeiten verstanden, die durch eine Gleichung $\varphi (x, y) =0$ erklärt werden. \par Hiermit ist die Grundlage für die weiteren Betrachtungen gewonnen, in denen der Verf. zeigt, dass die Sätze, die {\it Hartogs} für Regularitätsbereiche bewiesen hatte, sinngemäss auf Meromorphiebereiche übertragen werden können. Im besonderen gilt der Satz, dass eine Funktion $f (x, y)$, die sich auf der Begrenzung eines vierfach ausgedehnten geschlossenen Gebietes meromorph verhält, auch im Innern des Gebietes meromorph ist. Hieraus geht hervor, dass der Meromorphiebereich eine eindeutige analytische Funktion von mehr als einer Veränderlichen nicht Lückenräume haben kann, die ganz im Endlichen liegen, und dass daher ein Satz von {\it Weierstrass}, der, wie bereits {\it Osgood} bemerkt hatte (Enzyklopädie der math. Wissenschaften Bd. II, Teil 1, S. 112, Anm. 260), nicht bewiesen war, einer Einschränkung bedarf; {\it Weierstrass} hatte nämlich behauptet (Werke 2, 129), wenn aus dem Gebiete von $n$ komplexen Veränderlichen $z_1,z_2,\dots ,z_n$ auf irgendeine Weise ein $2n$-fach ausgedehntes Kontinuum ausgeschieden werde, so liessen sich stets eindeutige Funktionen von $z_1, z_2, \dots ,z_n$ bestimmen, welche sich an allen Stellen im Innern des Kontinuums, aber an keiner Stelle seiner Begrenzung wie rationale Funktionen verhalten; es träten also die wesentlich singulären Stellen einer eindeutigen Funktion von $n$ Veränderlichen nicht notwendig vereinzelt auf, vielmehr könnte jedes im Gebiete von $n$ komplexen Grössen mögliche Gebilde der Ort solcher Stellen sein. \par Der ``Ort der wesentlich singulären Punkte'', also die ``Begrenzung des Meromorphiebereichs'', ist jedoch noch weiteren Einschränkungen unterworfen. Es muss nämlich in jedem Punkte dieser als ``natürliche Grenze'' auftretenden dreidimensionalen Mannigfaltigkeit eine gewisse Differentialungleichheit erfüllt sein, die bei {\it Levi} eine ziemlich verwickelte, unübersichtliche Gestalt hat. Nach einer Bemerkung von {\it Blumenthal} (Verhandlungen der Gesellschaft deutscher Naturforscher und Ärzte, 83. Versammlung, 1911, zweiter Teil, erste Hälfte, S. 5) lässt sie sich folgendermassen deuten. Es sei $$z_1=x_1+iy_1,\ z_2=x_2+iy_2.$$ Wählt man nun für den betrachteten Punkt die Veränderlichen $x, y$ so, dass $x_1 = 0$ die Tangentialebene der Begrenzungsmannigfaltigkeit wird und für das Innere des Meromorphiegebietes $x_1 > 0$ ist, so darf der Ausdruck $$\Delta (x_1)=\frac{\partial^2x_1}{\partial y^2_1} + \frac{\partial^2x_1}{\partial y^2_2}$$ längs der Begrenzungsmannigfaltigkeit niemals negativ werden. Mithin können nur dann zu beiden Seiten der Mannigfaltigkeit Funktionen $f (z_1, z_2)$ existieren, die diese zur natürlichen Grenze haben, wenn $\Delta (x_1)$ in allen ihren Punkten verschwindet; im anderen Falle aber kann eine solche Funktion nur auf derjenigen Seite existieren, die $\Delta (x_1)$ positiv macht. \par Die Bedingung für das Vorzeichen von $\Delta (x_1)$ ist notwendig. Ob sie auch hinreichend ist, muss dahingestellt bleiben. Für den besonderen Fall, dass $\Delta (x_1)$ verschwindet, beweist {\it Levi}, dass sich für jedes hinreichend kleine Stück einer solchen Mannigfaltigkeit $x_1 = F (x_2; y_1, y_2)$ analytische Funktionen $f (z_1, z_2)$ herstellen lassen, die nur auf einer der beiden Seiten der Mannigfaltigkeit existieren und diese zur natürlichen Grenze haben. In einer späteren Abhandlung (Annali di Mat. (3) 18 (1911)) hat {\it Levi} einen ähnlichen Satz für den allgemeinen Fall bewiesen, woraus folgt, dass die Überflächen, die zur Begrenzung eines Meromorphiebereichs dienen, keinen weiteren Differentialungleichheiten unterworfen sind. Damit ist jedoch nur nachgewiesen, dass hinreichend kleine Stücke dieser Grenzmannigfaltigkeiten durch die Bedingung $\Delta (x_1) \geqq 0$ charakterisiert sind, dagegen bleibt noch zu untersuchen, welchen Bedingungen Meromorphiebereiche im grossen unterliegen.
(Data of JFM: JFM 41.0487.01; Copyright 2005 Jahrbuch Database used with permission)
[Stäckel, Prof. (Karlsruhe)]

Citations: JFM 36.0483.01; JFM 36.0483.02; JFM 37.0443.01; JFM 40.0472.01

Comment on this Item PDF MathML XML ASCII DVI PS BibTeX Online Ordering Journal

	Scientific prize winners of the ICM 2010
	Overhang
	Lie groups, physics and geometry. An introduction for physicists, engineers and chemists.

Simple Search

Zentralblatt MATH Berlin [Germany]